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初中几何证明题

在ΔABC的边BC上向两侧各作正ΔEBC, ΔFBC，S是ΔABC的面积。求证:︱AE^2-AF^2︱=4√3S.

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2010-01-15

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    解 设F与A同侧，∠C<60°则∠ACF=60°-C，∠ABE=60°+B。 记S是ΔABC的面积，BC=a,CA=b,AB=c。 在ΔABE中据余弦定理得: AE^2=c^2+a^2-2cacos(60°+B) =c^2+a^2-2ca[(c^2+a^2-b^2)/(4ca)-√3S/(ca)] AE^2=[a^2+b^2+c^2+4√3S]/2 (1) 在ΔACF中同样可得: AF^2=[a^2+b^2+c^2-4√3S]/2 (2) 由(1),(2)式得: ︱AE^2-AF^2︱=4√3S。
     。
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2010-01-15

37 0
证明 连EF交BC于O，显然EF=√3BC， 过A作AD⊥EF交EF于D，则 ︱AE^2-AF^2︱=DE^2-DF^2=(DE+DF)*(DE-DF) =EF*(EF-2DF)=√3BC*2OD=4√3S.
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