不等式问题
问题 在非纯角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2. 求证：s＞=2R+r.
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问题 在非纯角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。
该问题去年曾有人提问，证法与楼上鱼儿的差不多。
下给出另一证法，供参考。 证明 在非纯角ΔABC中，有 cosA*cosB*cosC≥0 (1) 由余弦定理定理知(1)式等价于 (b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)≥0 Σa^2*(2Σb^2*c^2 -Σa^4)-8(abc)^2≥0 据三角形恒等式: abc=4Rrs，Σa^2=2(s^2-4Rr-r^2)，2Σb^2*c^2 -Σa^4=16(sr)^2。
代入整理得: 32(sr)^2*(s^2-4Rr+r^2-4R^2)≥0 故 s^2-4Rr+r^2-4R^2≥0 s^2≥(2R+r)^2 因此 s>=2R+r。
证毕。 。
下给出另一证法，供参考。 证明 在非纯角ΔABC中，有 cosA*cosB*cosC≥0 (1) 由余弦定理定理知(1)式等价于 (b^2+c^2-a^2)*(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)≥0 Σa^2*(2Σb^2*c^2 -Σa^4)-8(abc)^2≥0 据三角形恒等式: abc=4Rrs，Σa^2=2(s^2-4Rr-r^2)，2Σb^2*c^2 -Σa^4=16(sr)^2。
代入整理得: 32(sr)^2*(s^2-4Rr+r^2-4R^2)≥0 故 s^2-4Rr+r^2-4R^2≥0 s^2≥(2R+r)^2 因此 s>=2R+r。
证毕。 。
问题 在非钝角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。
证明一:注意到:s/R=sinA+sinB+sinC,1+r/R=cosA+cosB+cosC,有
s>=2R+r (1)
sinA+sinB+sinC>=1+cosA+cosB+cosC (2)
下面证明(2)。
易知,在非钝角ΔABC中,有 0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2) 于是。有 sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2{cos((A-B)/2)[cos(C/2)-sin(C/2)]+cos(C/2)[sin(C/2)-cos(C/2)]} =2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)] >=0, 所以,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立。
如果允许用s-R-r方法的话,那么下面给出的证明或许更简单些。 证明二:由余弦定理及正弦定理得 a^2+b^2+c^2=2a^2+2bccosA =8R^2[(sinA)^2+sinBsinCcosA], (1) 又因为 cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-cosA, 所以 sinBsinC=cosA+cosBcosC, 从而 sinBsinCcosA=(cosA)^2+cosAcosBcosC, 而对于非钝角ΔABC,有 cosAcosBcosC>=0, 于是,有 sinBsinCcosA>=(cosA)^2 (2) (2)代入(1)得 a^2+b^2+c^2>=8R^2。
(3) 再由已知恒等式:a^2+b^2+c^2=2(s^2-4Rr-r^2)得 2(s^2-4Rr-r^2)>=8R^2, 所以 s^2>=4R^2+4Rr+r^2=(2R+r)^2, 因此 s>=2R+r。
易知,在非钝角ΔABC中,有 0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2) 于是。有 sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2{cos((A-B)/2)[cos(C/2)-sin(C/2)]+cos(C/2)[sin(C/2)-cos(C/2)]} =2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)] >=0, 所以,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立。
如果允许用s-R-r方法的话,那么下面给出的证明或许更简单些。 证明二:由余弦定理及正弦定理得 a^2+b^2+c^2=2a^2+2bccosA =8R^2[(sinA)^2+sinBsinCcosA], (1) 又因为 cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-cosA, 所以 sinBsinC=cosA+cosBcosC, 从而 sinBsinCcosA=(cosA)^2+cosAcosBcosC, 而对于非钝角ΔABC,有 cosAcosBcosC>=0, 于是,有 sinBsinCcosA>=(cosA)^2 (2) (2)代入(1)得 a^2+b^2+c^2>=8R^2。
(3) 再由已知恒等式:a^2+b^2+c^2=2(s^2-4Rr-r^2)得 2(s^2-4Rr-r^2)>=8R^2, 所以 s^2>=4R^2+4Rr+r^2=(2R+r)^2, 因此 s>=2R+r。
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