一个不等式

不等式问题问题在非纯角ΔABC中

问题 在非钝角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。 证明一:注意到:s/R=sinA+sinB+sinC,1+r/R=cosA+cosB+cosC,有 s>=2R+r (1) sinA+sinB+sinC>=1+cosA+cosB+cosC (2) 下面证明(2)。 易知,在非钝角ΔABC中,有 0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2) 于是。有 sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2s...全部

   问题 在非钝角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。 证明一:注意到:s/R=sinA+sinB+sinC,1+r/R=cosA+cosB+cosC,有 s>=2R+r (1) sinA+sinB+sinC>=1+cosA+cosB+cosC (2) 下面证明(2)。
   易知,在非钝角ΔABC中,有 0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2) 于是。有 sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC) =2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2) -2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2 =2{cos((A-B)/2)[cos(C/2)-sin(C/2)]+cos(C/2)[sin(C/2)-cos(C/2)]} =2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)] >=0, 所以,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立。
   如果允许用s-R-r方法的话,那么下面给出的证明或许更简单些。 证明二:由余弦定理及正弦定理得 a^2+b^2+c^2=2a^2+2bccosA =8R^2[(sinA)^2+sinBsinCcosA], (1) 又因为 cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-cosA, 所以 sinBsinC=cosA+cosBcosC, 从而 sinBsinCcosA=(cosA)^2+cosAcosBcosC, 而对于非钝角ΔABC,有 cosAcosBcosC>=0, 于是,有 sinBsinCcosA>=(cosA)^2 (2) (2)代入(1)得 a^2+b^2+c^2>=8R^2。
   (3) 再由已知恒等式:a^2+b^2+c^2=2(s^2-4Rr-r^2)得 2(s^2-4Rr-r^2)>=8R^2, 所以 s^2>=4R^2+4Rr+r^2=(2R+r)^2, 因此 s>=2R+r。
  收起