不等式问题问题在非纯角ΔABC中
问题 在非钝角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。
证明一:注意到:s/R=sinA+sinB+sinC,1+r/R=cosA+cosB+cosC,有
s>=2R+r (1)
sinA+sinB+sinC>=1+cosA+cosB+cosC (2)
下面证明(2)。
易知,在非钝角ΔABC中,有
0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2)
于是。有
sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC)
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2s...全部
问题 在非钝角ΔABC中，设R,r分别表示ΔABC的外接圆半径与内切圆半径,s=(a+b+c)/2。 求证：s>=2R+r。
证明一:注意到:s/R=sinA+sinB+sinC,1+r/R=cosA+cosB+cosC,有
s>=2R+r (1)
sinA+sinB+sinC>=1+cosA+cosB+cosC (2)
下面证明(2)。
易知,在非钝角ΔABC中,有
0°=sin(C/2),cos((A-B)/2)>cos(C/2)
于是。有
sinA+sinB+sinC-(1+cosA+cosB+cosC)
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2)
-2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)*cos(C/2)
-2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2{cos((A-B)/2)[cos(C/2)-sin(C/2)]+cos(C/2)[sin(C/2)-cos(C/2)]}
=2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)]
>=0,
所以,不等式(2)成立,从而不等式(1)成立。
如果允许用s-R-r方法的话,那么下面给出的证明或许更简单些。
证明二:由余弦定理及正弦定理得
a^2+b^2+c^2=2a^2+2bccosA
=8R^2[(sinA)^2+sinBsinCcosA], (1)
又因为 cosBcosC-sinBsinC=cos(B+C)=-cosA,
所以 sinBsinC=cosA+cosBcosC,
从而 sinBsinCcosA=(cosA)^2+cosAcosBcosC,
而对于非钝角ΔABC,有 cosAcosBcosC>=0,
于是,有 sinBsinCcosA>=(cosA)^2 (2)
(2)代入(1)得
a^2+b^2+c^2>=8R^2。
(3)
再由已知恒等式:a^2+b^2+c^2=2(s^2-4Rr-r^2)得
2(s^2-4Rr-r^2)>=8R^2,
所以 s^2>=4R^2+4Rr+r^2=(2R+r)^2,
因此 s>=2R+r。
收起
