(重复)三角形不等式-16

    问题 设 a,b,c是三角形ABC三边长,S是三角形ABC的面积。求证: a^2+(4*b^2*c^2)/(b^2+c^2)>=4S√3 证明 待证不等式等价于 a^2*b^2+a^2*c^2+4*b^2*c^2>=4*(b^2+c^2)*S√3 据三角形面积公式[海仑公式] 16*S^2=2*b^2*c^2+2*c^2*a^2+2*a^2*b^2-a^4-b^4-c^4。
     上式两边平方得: (a^2*b^2+a^2*c^2+4*b^2*c^2)^2>= 3*(b^2+c^2)^2*(2*b^2*c^2+2*c^2*a^2+2*a^2*b^2-a^4-b^4-c^4) 展开整理为:4*a^4*b^4+4*c^4*a^4+3*b^8+3*c^8+10*b^4*c^4-6*a^2*b^6-6*a^2*c^6+8*a^4*b^2*c^2-10*a^2*b^4*c^2-10a^2*b^2*c^4>=0 化简等价于 (3*b^4+c^4)*(a^2-b^2)^2+(3*c^4+b^4)*(a^2-c^2)^2+8*b^2*c^2*(a^2-b^2)*(a^2-c^2)>=0 3*[b^2*(a^2-b^2)+c^2*(a^2-c^2)]^2+[c^2*(a^2-b^2)+b^2*(a^2-c^2)]^2>=0。
    显然成立，问题得证。 。