高中不等式问题
设a,b,c为正实数,求证
bc/(b^2+c^2+3a^2)+ca/(c^2+a^2+3b^2)+ab/(a^2+b^2+3c^2)≤3/5
证明 上式去分母整理为
3∏(b^2+c^2+3a^2)-5∑bc(c^2+a^2+3b^2)(a^2+b^2+3c^2)≥0
＜＝＝＞
9∑a^6-15∑(b+c)a^5+39∑(b^2+c^2)a^4-50∑(bc)^3
-5abc∑a^3+-20abc∑(b+c)a^2+114(abc)^2≥0
不失一般性，设a=min(a,b,c),上式可分解为:
[9a^4-6(b+c)a^3+33(b^2+c^2)a^2-26bca^2-17(b^3+...全部
设a,b,c为正实数,求证
bc/(b^2+c^2+3a^2)+ca/(c^2+a^2+3b^2)+ab/(a^2+b^2+3c^2)≤3/5
证明 上式去分母整理为
3∏(b^2+c^2+3a^2)-5∑bc(c^2+a^2+3b^2)(a^2+b^2+3c^2)≥0
＜＝＝＞
9∑a^6-15∑(b+c)a^5+39∑(b^2+c^2)a^4-50∑(bc)^3
-5abc∑a^3+-20abc∑(b+c)a^2+114(abc)^2≥0
不失一般性，设a=min(a,b,c),上式可分解为:
[9a^4-6(b+c)a^3+33(b^2+c^2)a^2-26bca^2-17(b^3+c^3)a
-7abc(b+c)+22(b^4+c^4)-77bc(b^2+c^2)+126(bc)^2](a-b)(a-c)
+[7a(b^3+c^3)-29abc(b+c)+9(b^4+c^4)-19bc(b^2+c^2)+69(bc)^2](b-c)^2≥0
＜＝＝＞
[(23a^2-6ab-6ac+21b^2+21c^2-39bc)(b-c)^2+9a^4-6a^3*(b+c)+10a^2*(b+c)^2
-6a(b+c)^3+(b+c)^4](a-b)(a-c)
+[(7ab+7ac+9b^2-bc+9c^2)(b-c)^2+22bc(2bc-ab-ac)+5(bc)^2](b-c)^2≥0
{23a^2-6a(b+c)+3(b+c)^2/4+(81(b-c)^2/4](b-c)^2+[a^2+(b+c)^2]*(3a-b-c)^2}(a-b)(a-c)
+[(7ab+7ac+9b^2-bc+9c^2)(b-c)^2+22bc(2bc-ab-ac)+5(bc)^2](b-c)^2≥0。
显然成立。
。收起
