三角形不等式

三角不等式在ΔABC中，求证:√

对所证不等式作角变换: A→90°-A/2,B→90°-B/2,C→90°-C/2,得: ∑√(1-sinB*sinC)≥3/2 (A) 那么上述锐角三角形问题就转化任意三角形问题。 我们只需证(1)式对任意三角形成立即可 首先给出三个局部不等式 √(1-sinB*sinC)≥sin(A/2)/cos[(B-C)/2] (1-1) √(1-sinC*sinA)≥sin(B/2)/cos[(C-A)/2] (1-2) √(1-sinA*sinB)≥sin(C/2)/cos[(A-B)/2] (1-3) (1-1)等价于 (1-sinB*sinC)*{cos[(B-C)/2]}^2≥[si...全部

  对所证不等式作角变换: A→90°-A/2,B→90°-B/2,C→90°-C/2,得: ∑√(1-sinB*sinC)≥3/2 (A) 那么上述锐角三角形问题就转化任意三角形问题。
   我们只需证(1)式对任意三角形成立即可 首先给出三个局部不等式 √(1-sinB*sinC)≥sin(A/2)/cos[(B-C)/2] (1-1) √(1-sinC*sinA)≥sin(B/2)/cos[(C-A)/2] (1-2) √(1-sinA*sinB)≥sin(C/2)/cos[(A-B)/2] (1-3) (1-1)等价于 (1-sinB*sinC)*{cos[(B-C)/2]}^2≥[sin(A/2)]^2 (1-sinB*sinC)*[1+cos(B-C)]≥1-cosA cosA-sinB*sinC+cos(B-C)-sinB*sinC*cos(B-C)≥0 sinB*sinC*[1-cos(B-C)]≥0, (1-1)显然成立。
   同理可证(1-2)和(1-3)。 设a,b,c分别表示ΔABC三边长，则 sin(A/2)/cos[(B-C)/2]=a/(b+c); sin(B/2)/cos[(C-A)/2]=b/(c+a); sin(C/2)/cos[(A-B)/2]=c/(a+b)。
   只需证: a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 (2) 由柯西不等式得 a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥(a+b+c)^2/[2(bc+ca+ab)] 所以只需证: (a+b+c)^2≥3(bc+ca+ab) (3) (3) a^2+b^2+c^2≥bc+ca+ab (4) (4)式是己知不等式。
   所证不等式可作指数推广 可以证明:当t≥log4(3/2)=0。29248127…,下面不等式成立 ∑(1-sin2B*sin2C)^t ≥3/2^t。 实际上(A)式可加强为 ∑√(1-sinB*sinC)≥2∑[sin(A/2)]^2。
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