三角形不等式
命题 在ΔABC中，三边长为a,b,c，R,r分别表示ΔABC的外接圆与内切圆半径，x,y,z为正实数。证明 xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2r(4R+r)
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命题 在ΔABC中，三边长为a,b,c，R,r分别表示ΔABC的外接圆与内切圆半径，x,y,z为正实数。证明
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2r(4R+r) (1)
证明 根据三角形恒等式:4r*(4R+r)=2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)
所以(1)式等价于:
(2x+y+z)*(z+x)*(x+y)*a^2+(2y+z+x)*(x+y)*(y+z)*b^2+(2z+x+y)*(y+z)*(z+x)*c^2≥2*(y+z)*(z+x)*(x+y)*(bc+ca+ab) (2)
(2)式配方得:
(y+z)*[(x+y)*b-(z+x)*c]^2+(z+x)*[(y+z)*c-(x+y)*a]^2+(x+y)*[(z+x)*a-(y+z)*b]^2≥0，
上式显然成立，当a:b:c=(y+z):(z+x):(x+y)时等号成立。
令a'=y+z,b'=z+x,c'=x+y，这a',b',c'可构成一三角形。所以(2)式是含有两个三角形三边长的不等式。 (b'+c')*b'*c'*a^2+(c'+a')*c'*a'*b^2+(a'+b')*a'*b'*c^2≥ 2*a'*b'*c'*(bc+ca+ab) 。
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令a'=y+z,b'=z+x,c'=x+y，这a',b',c'可构成一三角形。所以(2)式是含有两个三角形三边长的不等式。 (b'+c')*b'*c'*a^2+(c'+a')*c'*a'*b^2+(a'+b')*a'*b'*c^2≥ 2*a'*b'*c'*(bc+ca+ab) 。
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命题 在ΔABC中，三边长为a,b,c，R,r分别表示ΔABC的外接圆与内切圆半径，x,y,z为正实数。证明
xa^2/(y+z)+yb^2/(z+x)+zc^2/(x+y)≥2r(4R+r)
证明 根据三角形恒等式:4r*(4R+r)=2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)
所以待证不等式等价于:
2xa^2/(y+z)+2yb^2/(z+x)+2zc^2/(x+y)≥2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)
上式化简为
a^2*(2x+y+z)/(y+z)+b^2*(2y+z+x)/(z+x)+c^2*(2z+x+y)/(x+y) ≥2(bc+ca+ab) (1)
因为
b^2*(x+y)/(z+x)+c^2*(z+x)/(x+y) ≥2bc;
c^2*(y+z)/(x+y)+a^2*(x+y)/(y+z) ≥2ca;
a^2*(z+x)/(y+z)+b^2*(y+z)/(z+x) ≥2ab。
上述三式相加即得(1)式。证毕。 。
上述三式相加即得(1)式。证毕。 。
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