任意凸四边形的两条对角线分别为L1,L2,两条对角线所夹锐角为a,求证S四边形=0.5L1L2sina
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证明:设此四边形为ABCD，AB、BC、CD、DA的中点分别为EFGH,由三角形中位线定理得GH=1/2AC,EF=1/2AC，且GH平行AC，EF平行AC，所以四边形EFGH为平行四边形，三角形DGH的面积=1/4S三角形DAC(相似三角形面积之比等于相似比的平方)，同理S三角形BEF=1/4S三角形BAC，所以S三角形DGH S三角形BEF=1/4S四边形ABCD，同理S三角形AEH S三角形CGF=1/4S四边形ABCD，所以S平行四边形EFGH=S四边形ABCD-(S三角形DGH S三角形BEF S三角形CGF S三角形AEH)=1/2S四边形ABCD，又S平行四边形EFGH=GF*GH*sin角FGH，因为GH平行AC，GF平行BD，所以角FGH=α，或角FGH=180度-α，所以S平行四边形EFGH=1/2L1*1/2L2*sinα=1/4L1*L2*sinα 所以S=1/2*L1*L2*sinα。
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