以任意四边形的四边为边长做四个正方形,分别连接对边正方形对角线的交点.求证这两条线垂直且相等.
此命题根本就是错误的。
1、设ABCD是边长为a的正方形，分别以AB、BC、CD、DA为边向形外作正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL，再设正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL的对角线交点分别是M、N、P、Q，此时MP与NQ确实垂直且相等。
2、在前面所得的图形中，将正方形CDIJ以CD为轴翻折180度，这样IJ就与AB重合，MP=a，NQ=2a,它们已经不相等了。
3、在第一步所得的图形中，将正方形CDIJ以CD为轴翻折90度，此时正方形CDIJ已经不在ABCD平面内，MP=0。 5a*根号10，NQ=2a,它们仍然不相等。
4、在第一步所得的图形中，将正方形CDI...全部
此命题根本就是错误的。
1、设ABCD是边长为a的正方形，分别以AB、BC、CD、DA为边向形外作正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL，再设正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL的对角线交点分别是M、N、P、Q，此时MP与NQ确实垂直且相等。
2、在前面所得的图形中，将正方形CDIJ以CD为轴翻折180度，这样IJ就与AB重合，MP=a，NQ=2a,它们已经不相等了。
3、在第一步所得的图形中，将正方形CDIJ以CD为轴翻折90度，此时正方形CDIJ已经不在ABCD平面内，MP=0。
5a*根号10，NQ=2a,它们仍然不相等。
4、在第一步所得的图形中，将正方形CDIJ、DAKL和三角形ACD以AC为轴翻折90度，如此得到的图形中，MP与NQ虽然相等，但并不垂直。
由上面的三个反例可知，原始的题目极不严格，存在大量的例外现象．但是，如果将题目改为如下所述，它将是严格的，可能也符合出题者的本意：
在平面内，以平面四边形ABCD的各边为边向绕行方向ABCDA的左侧（或者右侧）作正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL，再设正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL的对角线交点分别是M、N、P、Q，则MP与NQ垂直且相等。
新的命题可以如下证明：
以平面内任一点O为原点建立复平面，并使实轴以最小角度旋转到与虚轴重合时所需的旋转方向正好是ABCDA的绕行方向。
令A、B、C、D的坐标分别是a、b、c、d
为了讨论的方便，下面以ABCDA的绕行方向正好是逆时针方向为例说明。
这并不影响问题的实质，若ABCDA的绕行方向正好是顺时针方向，只需将下面证明中的1-i和1+i互换，其余作相应改变即可。
当正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL在绕行方向ABCDA的右侧时，利用转轴公式，容易得到M=a+0。
5（b-a）（1-i），N=b+0。5（c-b）（1-i),P=c+0。5(d-c)(1-i),Q=d+0。5(a-d)(1-i),因此,
向量MP=P-M=0。5(-a-b+c+d)+0。
5(a-b-c+d)i,
向量NQ=Q-N=0。5(a-b-c+d)+0。5(a+b-c-d)i=-i*向量MP
因此，MP与NQ垂直（因为此二向量之商为纯虚数）并且相等（因为此二向量之商的模为1）
当正方形ABEF、BCGH、CDIJ、DAKL在绕行方向ABCDA的左侧时，将前面括号中的1-i改为1+i，其余作相应变化即可。
以上证明使用复数表示，可以很方便地改写为直角坐标表示，若提问者需要，可以与我联系。收起
