直线与圆的位置关系

过点P(2,3)引圆(x-1)^2+(y+2)^2=1的切线,求切线方程和切点坐标

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2019-02-24

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过点P(2,3)引圆(x-1)^2+(y+2)^2=1的切线,求切线方程和切点坐标如图点P(2,3)，圆心(1,-2) ①显然，过点P垂直x轴的直线x=2为圆切线，切点为(2,-2) ②当过点P切线斜率存在时，设斜率为k 则直线方程为：y-3=k(x-2) 即，kx-y-2k+3=0 那么，圆心(1,-2)到直线的距离等于半径r=1 则，|k+2-2k+3|/√(k^2+1)=1 ===> |k-5|=√(k^2+1) ===> (k-5)^2=k^2+1 ===> k^2-10k+25=k^2+1 ===> 10k=24 ===> k=12/5 所以，切线方程为：(12/5)x-y-(24/5)+3=0 即：12x-5y-9=0 此时的切点与另一个切点(2,-2)关于直线PO1对称直线PO1为y=5x-7 设切点为(a,b)，则： (b+2)/(a-2)=-1/5 (b-2)/2=5*[(a+2)/2]-7 联立解得，a=1/13，b=-21/13 综上，过点P作圆的两条切线分别为： x=2，切点为(2,-2)； 12x-5y-9=0，切点为(1/13,-21/13)。
。

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J***

2019-02-24

245 0

绘图知道，一条切线是x=2,对应切点是A(2,-2)(另一切点B) 圆心Q(1,-2)，sin∠QPA=1/√26，tan∠BPA=5/12，则PB的斜率是12/5 切线方程为y=12/5x-9/5，与圆联立，得B(1/13,-21/13)

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W***

2019-02-24

244 0

设过P(2,3)方程为 y-3=k(x-2) →kx-y+3-2k=0 它与圆相切, 即与圆心(1,-2)距离等圆径1. ∴|k×1-(-2)+3-2k|/根(k^2+1)=1 →k=12/5. 代回所设,得切线 y-3=12/5(x-2) 即12x-5y-9=0.

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曾***

2019-02-24

213 0

20多年前学的圆的方程，这时已经全部忘记了。

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徐***

2019-02-24

246 0

解：圆心坐标O(1,-2)，P(2,3),分情况讨论 1)当切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x-2)+3,圆心到切线的距离d=r=1,则|5-k|/√(1+k^2)=1,化简整理得 k=12/5,则PO的斜率为-5/12,设切点为(x,y)则(y+2)/(x-1)=-5/12 ,又（x-1）^2+(y+2)^2=1,又(0<=x<=2),联立得(x-1)^2=144/169, 则x=1/13,y=-21/13,即切点坐标为(1/13,-21/13),切线方程为 12x-5y-9=0。
2)当切线斜率不存在时，x=2,此时存在切点（2，-2）。再联立上面两项。

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