解析几何设直线l：x=7根号3/
设直线l：x=7(√3)/6, 定点A(√3,0),动点P到直线l的距离为d,
且|PA|/d = (√3)/2 。 (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过原点
且倾斜角为a(a不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的
面积S(a)；(3)求S(a)的最大值。
(1) 设 P(x,y)，
则 d = |x - 7(√3)/6| , |PA| = √[(x-√3)²+y²]
由条件得 √[(x-√3)²+y²] / |x - 7(√3)/6|= (√3)/2
即 2 * √[(x-√3)²+y²] = (√3) ...全部
设直线l：x=7(√3)/6, 定点A(√3,0),动点P到直线l的距离为d,
且|PA|/d = (√3)/2 。 (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过原点
且倾斜角为a(a不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的
面积S(a)；(3)求S(a)的最大值。
(1) 设 P(x,y)，
则 d = |x - 7(√3)/6| , |PA| = √[(x-√3)²+y²]
由条件得 √[(x-√3)²+y²] / |x - 7(√3)/6|= (√3)/2
即 2 * √[(x-√3)²+y²] = (√3) * |x - 7(√3)/6|
两边平方，得 4x² - 8(√3)x + 12 + 4y² = 3x² - 7(√3)x + 49/4
整理得 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0
即 4[x - (√3)/2]² + 16y² = 2
即 C： [x - (√3)/2]²/(1/2) + y²/(1/8) = 1
(2) 先设直线MN的斜率为k，记 1/k = n
则直线MN的方程为 y = kx， 即 x = ny
代入 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0
得 (4n²+16)y² - 4(√3)ny - 1 = 0
y1 + y2 = (√3)n/(n²+4) ， y1 * y2 = -/(4n²+16)
|y1 - y2| = √[(y1 + y2)² - 4 * y1 * y2]
= √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)]
S(A) = (1/2) * |OA| * (|y1| + |y2|)
= (1/2) * |OA| * |y1 - y2|
= [(√3)/2] * √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)]
= (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 4)²]
= (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 1 + 3)²]
= (√3) / √[(n² + 1) + 9/(n² + 1) + 6]
= (√3) / √[(tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) + 6]
(3) 由基本不等式 (tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) ≥ 6
所以 S(a) ≤ (√3) / √(6+6) = 1/2
即 S(a) 的最大值为 1/2
。
收起
