证明题...

一道关于维数的证明题

1。 由于线性函数和其矩阵A有相同的性质 只需证明线性函数的矩阵A满足上面的性质就可以了, 即Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1。 2。 A^(n-1)≠0==> 有X使A^(n-1)[X]≠0。 证明:X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。 设λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X=0 ==> 0=A^(n-1)[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]= =λ1A^(n-1)[X] ==>λ1=0==> λ2AX+。 。。+λnA^(n-1)X=0 同理可得:λ1=λ2=。。=λn=0。 ==> X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。 ==>...全部

  1。 由于线性函数和其矩阵A有相同的性质 只需证明线性函数的矩阵A满足上面的性质就可以了, 即Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1。 2。 A^(n-1)≠0==> 有X使A^(n-1)[X]≠0。
   证明:X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。 设λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X=0 ==> 0=A^(n-1)[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]= =λ1A^(n-1)[X] ==>λ1=0==> λ2AX+。
  。。+λnA^(n-1)X=0 同理可得:λ1=λ2=。。=λn=0。 ==> X,AX,。。。,A^(n-1)X线性无关。 ==> {X,AX,。。。,A^(n-1)X}是一个基。
   3。 Y∈KerA, Y=λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X, 0=AY=A[λ1X+λ2AX+。。。+λnA^(n-1)X]= =λ1AX+。。。+λ(n-1)A^(n-1)X ==>λ1=。
  。。=λ(n-1)=0 Y=λnA^(n-1)X==>Dim[KerA]=1 4。 由于AX,。。。
  ,A^(n-1)X∈KerA^(n-1) ==>R(A^(n-1))≤1,而A^(n-1)≠0 ==>1≤R(A^(n-1))==>R(A^(n-1))=1 ==> Dim[KerA]=R(A^(n-1))=1 。收起