求不定积分
1。
∫1/[x√(1+x)]dx
令√(1+x)=t，则：1+x=t^2
所以，x=t^2-1，dx=2tdt
原式=∫1/[(t^2-1)*t]*2tdt
=∫2/(t^2-1)dt
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt
=ln|t-1|-ln|t+1|+C
=ln|(t-1)/(t+1)|+C
=ln|[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]|+C
2。
∫1/[x*√(x^2-1)]dx
令√(x^2-1)=t，则：x^2-1=t^2
所以：x=√(t^2+1)，dx=(1/2)*[1/√(t^2+1)]*2tdt=[t/√(t^2+1)]dt
原式=∫1/[√(t^2...全部
1。
∫1/[x√(1+x)]dx
令√(1+x)=t，则：1+x=t^2
所以，x=t^2-1，dx=2tdt
原式=∫1/[(t^2-1)*t]*2tdt
=∫2/(t^2-1)dt
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt
=ln|t-1|-ln|t+1|+C
=ln|(t-1)/(t+1)|+C
=ln|[√(1+x)-1]/[√(1+x)+1]|+C
2。
∫1/[x*√(x^2-1)]dx
令√(x^2-1)=t，则：x^2-1=t^2
所以：x=√(t^2+1)，dx=(1/2)*[1/√(t^2+1)]*2tdt=[t/√(t^2+1)]dt
原式=∫1/[√(t^2+1)*t]*[t/√(t^2+1)]dt
=∫1/(t^2+1)dt
=arctant+C
=arctan√(x^2-1)+C
3。
∫xsin3xdx
=∫x*(-1/3)d(cos3x)
=(-1/3)∫xd(cos3x)
=(-1/3)*[x*cos3x-∫cos3xdx]
=(-1/3)xcos3x+(1/3)∫cos3xdx
=(-1/3)xcos3x+(1/9)∫d(sin3x)
=(-1/3)xcos3x+(1/9)sin3x+C
4。
∫e^√xdx
令√x=t，则：x=t^2，dx=2tdt
原式=∫e^t*2tdt
=2∫t*d(e^t)
=2[t*e^t-∫e^tdt]
=2[t*e^t-e^t]+C
=2(t-1)*e^t+C
=2(√x-1)*e^√x+C。
收起
