设双曲线X2/4-Y2=1的右顶点是A,P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐进线平行线与直线OP分别交于Q.R两点。
1.求证：无论点在什么位置，总有|OP|2=|OQ*OR|
2.设动点C适合AC=1/2(AQ+AR)，求C点轨迹方程
（题中均为向量）
解：X＾/4-Y＾=1 X＾-4Y＾=4
a=2 b=1 c=√5
渐进线： L： y=（1/a）x=x/2 2y=x
L1： y=-（1/a）x=-x/2 2y=-x
P（xp，yp） A（2，0）
A引双曲线的渐进线L平行线L2： 2y=x-2
A引双曲线的渐进线L1平行线L3： 2y=2-x
OP所在直线的方程L4： xpy=ypx
联立： 2y=x-2 xpy=ypx
得出R的坐标： xr=2xp/（xp-2yp） yr=2yp/（xp-2yp）
联立： 2y=2-x ...全部
解：X＾/4-Y＾=1 X＾-4Y＾=4
a=2 b=1 c=√5
渐进线： L： y=（1/a）x=x/2 2y=x
L1： y=-（1/a）x=-x/2 2y=-x
P（xp，yp） A（2，0）
A引双曲线的渐进线L平行线L2： 2y=x-2
A引双曲线的渐进线L1平行线L3： 2y=2-x
OP所在直线的方程L4： xpy=ypx
联立： 2y=x-2 xpy=ypx
得出R的坐标： xr=2xp/（xp-2yp） yr=2yp/（xp-2yp）
联立： 2y=2-x xpy=ypx
得出Q的坐标： xq=2xp/（xp+2yp） yr=2yp/（xp+2yp）
向量OR=[2xp/（xp-2yp），2yp/（xp-2yp）]
向量OQ=[2xp/（xp+2yp），2yp/（xp+2yp）]
|OQ*OR|={4xp＾/（xp＾-4yp＾）+4yp＾/（xp＾-4yp＾）}
P在x＾-4y＾=4上， xp＾-4yp＾=4
∴|OQ*OR|={xp＾+yp＾}
│OP│＾=xp＾+yp＾
2： C（x，y）
向量AR={xr-2，yr}={4yp/（xp-2yp）， 2yp/（xp-2yp）}
向量OR={xq-2，yq}={-4yp/（xp+2yp），2yp/（xp+2yp）}
AQ+AR=（4yp＾，xpyp）
向量AC=（x-2，y）
x-2=4yp＾
y=xpyp xp=y/yp xp＾=（y/yp）＾=4y＾/（x-2）
将xp＾， yp＾带入
X＾-4Y＾=4
4y＾/（x-2）-（x-2）=4
4y＾-（x-2）＾=4（x-2）
x＾-4y＾=4
∴C点轨迹方程： x＾-4y＾=4
。
收起
