1的次方＋2的三次方＋3的三次方＋···
解：
（n+1）＾4-n＾4=4n＾3+6n＾2+4n+1
2＾4-1＾4=4×1＾3+6×1＾2+4×1+1
3＾4-2＾4=4×2＾3+6×2＾2+4×2+1
4＾4-3＾4=4×3＾3+6×3＾2+4×3+1
。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
（n+1）＾4-n＾4=4n＾3+6n＾2+4n+1
式子两边相加:
（n+1）＾4-1＾4=4×[1＾3+2＾3+3＾3+。 。。。+n＾3]+6×[1＾2+2＾2+3＾2+。。。。+n＾2]+4×[1+2+3+。。。。+n]+n
1＾3+2＾3+3＾3+。。。。+n＾3=x
1＾2+2＾2+3＾2+。。...全部
解：
（n+1）＾4-n＾4=4n＾3+6n＾2+4n+1
2＾4-1＾4=4×1＾3+6×1＾2+4×1+1
3＾4-2＾4=4×2＾3+6×2＾2+4×2+1
4＾4-3＾4=4×3＾3+6×3＾2+4×3+1
。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
（n+1）＾4-n＾4=4n＾3+6n＾2+4n+1
式子两边相加:
（n+1）＾4-1＾4=4×[1＾3+2＾3+3＾3+。
。。。+n＾3]+6×[1＾2+2＾2+3＾2+。。。。+n＾2]+4×[1+2+3+。。。。+n]+n
1＾3+2＾3+3＾3+。。。。+n＾3=x
1＾2+2＾2+3＾2+。。。。+n＾2=n(n+1)(2n+1)/6 (您可以用上述方法证明)。
1+2+3=。。。。
+n=(1+n)n/2
∴（n+1）＾4-1=4x+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n
4x=n(n+2)(n＾+2n+2)-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n
=n[n＾3+4n＾+6n+4-2n＾-3n-1-2n-2-1]
=n[n＾3+2n＾+n]
=[n(n+1)]＾
x=[n(n+1)]＾/4
1的三次方＋2的三次方＋3的三次方＋······＋99的三次方＝[99×(99+1)]＾/4=24502500
。收起
