数学

一道概率题从正整数中随机地选取两

1。设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数， []为取整函数，|表示整除，Sn={1，2，。。。，n}。 2。在Sn中取两个不同的数，有(n-1)n/2种选法， 而这两个数互素有 ∑{1≤k≤n}φ（k）-1=φ（1）+φ（2）+。 。。+φ（n）-1 种选法。 所以两个数互素的概率=Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ（k）}/{(n-1)n/2}第一章 事件与概率 1、在某城市中，共发行三报纸A，B，C。在这城市的居民中，订购A的占45%，订购B的占35%，订购C的占30%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列百分率：（1）只订购A的；（...全部

  1。设μ为麦比乌斯函数，φ为欧拉函数， []为取整函数，|表示整除，Sn={1，2，。。。，n}。 2。在Sn中取两个不同的数，有(n-1)n/2种选法， 而这两个数互素有 ∑{1≤k≤n}φ（k）-1=φ（1）+φ（2）+。
  。。+φ（n）-1 种选法。 所以两个数互素的概率=Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ（k）}/{(n-1)n/2}第一章 事件与概率 1、在某城市中，共发行三报纸A，B，C。在这城市的居民中，订购A的占45%，订购B的占35%，订购C的占30%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列百分率：（1）只订购A的；（2）只订购A及B的；（3）只订购一种报纸的；（4）正好订购两种报纸的；（5）至少订购一种报纸的；（6）不订购任何报纸的。
   A，B，C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 3、试把 表示成n个两两互不相容事件的和． 4、在某班学生中任选一个同常驻事件Ａ表示选到的是男同学，事件Ｂ表示选到的人不喜欢唱歌，事件Ｃ表示选到的人是运动员．（1）表述 及 ；（2）什么条件下成立 ；（3）何时成立 ；（4）何时同时成立 及 ． 5、用模球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算。
   6、若A，B，C，D是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B都发生而C，D都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
   7、从0，1，2，…，9中随机地取出5个数（可重复），以Ei记某此数正好出现i次这一事件（例如52353，既属于E1，也属于E2及E0），试用图文表示E0，E1，…，E6的关系。 8、证明下列等式：（1） ； （2） ； （3） 。
   9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
   11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、红球分别有 只的概率。
   13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码 ，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
   15、在上题中这些号码按上升（不一定严格）次序排列的概率。 16、任意从数列 ，N中不放回地取出n个数并按大小排列成： ，试求 的概率，这里 。 17、上题中，若采用有入回取数，这时 ，试求 的概率。
   18、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？ 19、从n双不同的鞋子中任取2r(2r ∑{1≤k≤n}φ（k）=∑{1≤k≤n}[∑{d|k}μ（d）（k/ d）] 交换求和顺序得： ∑{1≤k≤n}φ（k）= =∑{1≤d≤n}[μ（d）∑{d|k，k≤n}（k/ d）]= =∑{1≤d≤n}μ（d）[n/d]（[n/d]+1）/2= =(n^2/2)∑{1≤d≤n}μ（d）/d^2+o(n^(3/2)。
   所以两个数互素的概率= Lim{n→∞}{∑{1≤k≤n}φ（k）/[(n-1)n/2]}= =∑{1≤d≤∞}μ（d）/d^2= =∏{p为所有素数}（1-1/p^2）= =1/[∑{1≤d≤∞}1/d^2]=6/(π^2)≈0。
  6793。 补： 1。你对，我改了。 2。麦比乌斯函数μ： μ（1）=1， n=（p1）^（α1）*。。*（（ps）^（αs） μ（n）=（-1）^（s），α1=。。=αs=1 μ（n）=0，其他。
   欧拉函数φ（n）=0，1，。。，n-1中和n互质的数的个数。 若n=（p1）^（α1）*。。*（（ps）^（αs）， φ（n）=n（1-1/p1）*。。*（（1-1/ps）。 3．若对d求和，∑{d|k}表示对整除k的整数求和。
   如： ∑{d|6}d=1+2+3+6，∑{d|9}d^2=1^2+3^2+9^2。 若对k求和，∑{d|k，k≤n}表示对d倍数的整数求和。 如： ∑{3|k，k≤20}k=3+6+9+12+15+18。
   o（n^（3/2））表示 Lim{n→∞}o（n^（3/2））/ n^（3/2）=0，称为小o。 。收起