函数有界性的定理如何证明
证明:函数于区间[m,n]内有连续,则在次区间内函数一定有最大最小值.
全部回答
需使用3个定理如下：
定理1：任意数列{Ut}满足：m≤Ut≤n，
则有{Ut}的子列{U（t（s））}收敛。
定理2：[m,n]中的所有有理数可记为
数列{Rt}。
定理3：[m,n]中的所有数x， 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x 1。 设函数f于区间[m,n]内有连续 设[m,n]中的所有有理数数列{Rt}（定理2）， 定义数列{Pt}，使Pt=Rs， 满足：f（Pt）=Max{f（Rs），1≤s≤t} 由定理1得：有{Pt}的子列{Pt（s）}收敛， 设Lim{s→∞}Pt（s）=y。
2。任意：[m,n]中的数x，定理3得： 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x。 ⅰ。对于任意ε>0，由f在x的连续性得：有 f（At）>f（x）-ε ⅱ。
由f在y的连续性得：有S，当s≥S f（y）>f（Pt（s））-ε ⅲ。 At是[m,n]中的有理数，则 At=Ru，取v≥S，使 t（v）≥u，则有 f（Pt（v））=Max{f（Rs），1≤s≤t} ≥f（Ru）=f（At） ==》f（y）+ε>f（Pt（v））≥f（At）>f（x）-ε ==》f（y）≥f（x）==》 f（y）最大值。
3。同理f最小值。 。
定理3：[m,n]中的所有数x， 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x 1。 设函数f于区间[m,n]内有连续 设[m,n]中的所有有理数数列{Rt}（定理2）， 定义数列{Pt}，使Pt=Rs， 满足：f（Pt）=Max{f（Rs），1≤s≤t} 由定理1得：有{Pt}的子列{Pt（s）}收敛， 设Lim{s→∞}Pt（s）=y。
2。任意：[m,n]中的数x，定理3得： 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x。 ⅰ。对于任意ε>0，由f在x的连续性得：有 f（At）>f（x）-ε ⅱ。
由f在y的连续性得：有S，当s≥S f（y）>f（Pt（s））-ε ⅲ。 At是[m,n]中的有理数，则 At=Ru，取v≥S，使 t（v）≥u，则有 f（Pt（v））=Max{f（Rs），1≤s≤t} ≥f（Ru）=f（At） ==》f（y）+ε>f（Pt（v））≥f（At）>f（x）-ε ==》f（y）≥f（x）==》 f（y）最大值。
3。同理f最小值。 。
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