一道数学难题已知x,y,为正实数
证明 设a,b为正实数，令x=1/a,y=1/b，则有
1/a+1/b=1 a+b=a*b，故ab≥4。
作恒等变换
(a+b)^5=a^5+b^5+5a*b(a^3+b^3)+10a^2*b^2(a+b)
=a^5+b^5+5a*b(a+b)[(a+b)^2-3a*b]+10a^2*b^2(a+b)
=a^5+b^5+5a^4*b^4+10a^3*b^3。
所以
(1/x^3-x^2)*(1/y^3-y^2)
=(a^3-1/a^2)*(b^3-1/b^2)
=(a^5-1)*(b^5-1)/(a^2*b^2)=(ab)^5-(a^5+b^5)+1/(a^2*b^2)
=5(a...全部
证明 设a,b为正实数，令x=1/a,y=1/b，则有
1/a+1/b=1 a+b=a*b，故ab≥4。
作恒等变换
(a+b)^5=a^5+b^5+5a*b(a^3+b^3)+10a^2*b^2(a+b)
=a^5+b^5+5a*b(a+b)[(a+b)^2-3a*b]+10a^2*b^2(a+b)
=a^5+b^5+5a^4*b^4+10a^3*b^3。
所以
(1/x^3-x^2)*(1/y^3-y^2)
=(a^3-1/a^2)*(b^3-1/b^2)
=(a^5-1)*(b^5-1)/(a^2*b^2)=(ab)^5-(a^5+b^5)+1/(a^2*b^2)
=5(ab)^2-5(ab)+(ab)^(-2)。
设t=ab，(t≥4)，
则 f(t)=5t^2-5t+1/t^2，
求导得:f¹(t)=10t-5-2/t^3,
显然f¹(t)在[4,+∞]单调递增函数，故
f¹(t)≥f¹(4)>0，故f(t)在[4,+∞]单调递增函数，
f(t)≥f(4)=5*16-5*4+1/16=60+1/16=961/16=(31/4)^2。
直接证也可以的。
设t=xy，因为x+y=1， 所以
1=(x+y)^3=x^3+y^3+3x^y+3xy^2=x^3+y^3+3xy(x+y),
所以 x^3+y^3=1-3t
1=(x+y)^5=x^5+y^5+5x^4y+5xy^4+10x^3y^2+10x^2y^3=x^5+y^5+5xy(x^3+y^3)+10x^2y^2(x+y)=x^5+y^5+5t(1-3t)+10t^2,
所以x^5+y^5=1-5t+5t^2。
(1/x^3-x^2)*(1/y^3-y^2)=1/(x^3y^3)+x^2y^2-(x^5+y^5)/(x^3y^3)
=1/t^3+t^2-(1-5t+5t^2)/t^3=(5-5t+t^4)/t^2=5t^{-2}-5t^{-1}+t^2=g(t)
那么g'(t)=-10t^{-3}+5t^{-2}+2t=t^{-3}(-10+5t+2t^4)
显然当 0=1/4,
因为x+y=1， 所以 g(t)>=g(1/4)=(31/4)^2。
因此 (1/x^3-x^2)*(1/y^3-y^2)≥(31/4)^2
。收起
