求曲面面积注意要用重积分中的方法求。
照理这里涉及一个椭圆型积分,但由于特殊,还可积分
有旋转面积公式S=2π∫(0,π)y*√(1+y'^2)dx
化为S=2π∫(0,π)sinx*√(1+cos^2x)dx
令t=cosx,则dt=-sinxdx
于是
S=2π∫(-1,1)√(1+t^2)dt
=2π(1/2)[t√(1+t^2)+ln(t+√(1+t^2))]|(-1,1)
=2π[√2+ln(1+√2)]
那就在来一次重积分的解法
有旋转面关于xOy平面对称,所以只考虑面上方的部分
z=√(sin^2x-y^2)
z'(y)=-y/√(sin^2x-y^2);z'(x)=sinxcosx/√(sin^2x-y^2)
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照理这里涉及一个椭圆型积分,但由于特殊,还可积分
有旋转面积公式S=2π∫(0,π)y*√(1+y'^2)dx
化为S=2π∫(0,π)sinx*√(1+cos^2x)dx
令t=cosx,则dt=-sinxdx
于是
S=2π∫(-1,1)√(1+t^2)dt
=2π(1/2)[t√(1+t^2)+ln(t+√(1+t^2))]|(-1,1)
=2π[√2+ln(1+√2)]
那就在来一次重积分的解法
有旋转面关于xOy平面对称,所以只考虑面上方的部分
z=√(sin^2x-y^2)
z'(y)=-y/√(sin^2x-y^2);z'(x)=sinxcosx/√(sin^2x-y^2)
积分区域为,y=sinx与x轴围成部分(先知考虑y≥0,另一部分同样)
被积函数为√(1+(z'(x))^2+(z'(y))^2)
=√(sin^2x(1+cos^2x))/√(sin^2x-y^2)
于是S=4∫∫(Ω)√(sin^2x(1+cos^2x))/√(sin^2x-y^2)dxdy
其中Ω为积分区域,换元y=tsinx(t∈[0,1)),可化为前一种的积分形式
。
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