高中三角函数问题

三角函数求证：cosα／(1+sinα

证明： 方法一: (利用二倍角公式) 易得： cosα/(1+sinα) ={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}/(sin(α/2)+cos(α/2))^2 =[cos(α/2)-sin(α/2)]/(sin(α/2)+cos(α/2)) sinα/(1+cosα) =[2sin(α/2)*cos(α/2)]/[1+2cos^2(α/2)-1] =sin(α/2)/cos(α/2) ∴ cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) =[cos(α/2)-sin(α/2))]/[sin(α/2)+cos(α/2)]-sin(α/2)/cos(α/2) ={[cos...全部

  证明： 方法一: (利用二倍角公式) 易得： cosα/(1+sinα) ={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}/(sin(α/2)+cos(α/2))^2 =[cos(α/2)-sin(α/2)]/(sin(α/2)+cos(α/2)) sinα/(1+cosα) =[2sin(α/2)*cos(α/2)]/[1+2cos^2(α/2)-1] =sin(α/2)/cos(α/2) ∴ cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) =[cos(α/2)-sin(α/2))]/[sin(α/2)+cos(α/2)]-sin(α/2)/cos(α/2) ={[cos(α/2)]^2-sin(α/2)*cos(α/2)-[sin(α/2)-]^2-sin(α/2)*cos(α/2)}/{sin(α/2)*cos(α/2)+[cos(α/2)]^2} ={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)-]^2-2sin(α/2)*cos(α/2)}/{2sin(α/2)*cos(α/2)/2+{2[cos(α/2)]^2-1+1}/2} =(cosα-sinα)/[sinα/2+(1+cosα)/2] =2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα) 方法二： 易得： (1+sinα+cosα)^2 =1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα =2(1+sinα)*(1+cosα) 左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα) =[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα) 由前面得： (1+sinα)*(1+cosα)=(1+sinα+cosα)^2/2 ∴左边=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/[(1+sinα+cosα)^2/2] =2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα) 方法三： 左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα) =[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα) 左边/右边 =(1+sinα+cosα)^2/2(1+sinα)(1+cosα) =(1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα)/2(1+sinα)(1+cosα) =2(1+sinα)(1+cosα)/2(1+sinα)(1+cosα) =1 即证！ 方法四： (利用等比性质) ∵ cosα/(1+sinα)=(1-sinα)/cosα 利用等比性质 ∴ cosα/(1+sinα)=(1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα) ----(1) 同理： ∵ sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ∴ sinα/(1+cosα)=(1+sinα-cosα)/(1+sinα+cosα) ----(2) (1)-(2)得 cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα) =(1-sinα+cosα-1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα) =(2cosα-2sinα)/(1+sinα+cosα) =2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)。
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