解析几何题已知AC,BD为圆O:
假设四边形ABCD面积为S,则有
S=1/2*|AC|*|BD|
由于弦AC、BD过点M(1,√2),且AC⊥BD,所以直线AC、BD的方程可假设为:
AC:y-√2=k(x-1)
BD:y-√2=1/k(x-1)
解以下方程组:
y-√2=k(x-1)
x^2+y^2=4
可得A、C的坐标,从而求得
|AC|=2√[(3k^2+2√2k+2)/(k^2+1)]
同理,解方程组:
y-√2=1/k(x-1)
x^2+y^2=4
可得B、D的坐标,从而求得
|BD|=2√[(3+2√2k+2k^2)/(k^2+1)]
因此,有
S=2√[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)/...全部
假设四边形ABCD面积为S,则有
S=1/2*|AC|*|BD|
由于弦AC、BD过点M(1,√2),且AC⊥BD,所以直线AC、BD的方程可假设为:
AC:y-√2=k(x-1)
BD:y-√2=1/k(x-1)
解以下方程组:
y-√2=k(x-1)
x^2+y^2=4
可得A、C的坐标,从而求得
|AC|=2√[(3k^2+2√2k+2)/(k^2+1)]
同理,解方程组:
y-√2=1/k(x-1)
x^2+y^2=4
可得B、D的坐标,从而求得
|BD|=2√[(3+2√2k+2k^2)/(k^2+1)]
因此,有
S=2√[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)/(k^2+1)^2]
可以证明当k=1时,[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)]/(k^2+1)^2为最大值。
证明思路是:
令f(k)=[(3k^2+2√2k+2)(2k^2+2√2k+3)]/(k^2+1)^2
=6+[(10√2k^3+9k^2+10√2k)/(k^2+1)^2
f'(k)=(-10√2k^4-18k^3+18k+10√2)/(k^2+1)^3
当f(k)取极值时,f'(k)=0。
f'(k)=0
=>-10√2k^4-18k^3+18k+10√2=0
=>k=1或k=-1
当k=1时,f(k)取最大值。
因此,四边形ABCD面积的最大值为
S最大=2√[(3+2√2+2)(2+2√2+3)/(1+1)^2]
=5+2√2
。
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