数学:抛物线问题20.已知直线l的倾斜
已知直线l的倾斜角为45°与抛物线y^=2px(p>0)交于A、B两点且两点纵坐标之和为2
(1)求抛物线方程。
(2)直线L1与L平行，且L1过抛物线的准线与x轴的交点，点M是抛物线上的一动点，求点M到L1的最小距离。
(3)线段AB的中垂线交x轴与P点，当点P关于直线L的对称点落在抛物线上时，求直线L的方程。
解：设A(x1,y1)、B(x1,y2)
(1) y1^=2px1,y2^=2px2,相减：--->y1^-y2^=(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
∵AB倾斜角为45°--->(y1-y2)=(x1-x2),又∵y1+y2=2,---->p=1
∴抛物线方程...全部
已知直线l的倾斜角为45°与抛物线y^=2px(p>0)交于A、B两点且两点纵坐标之和为2
(1)求抛物线方程。
(2)直线L1与L平行，且L1过抛物线的准线与x轴的交点，点M是抛物线上的一动点，求点M到L1的最小距离。
(3)线段AB的中垂线交x轴与P点，当点P关于直线L的对称点落在抛物线上时，求直线L的方程。
解：设A(x1,y1)、B(x1,y2)
(1) y1^=2px1,y2^=2px2,相减：--->y1^-y2^=(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2)
∵AB倾斜角为45°--->(y1-y2)=(x1-x2),又∵y1+y2=2,---->p=1
∴抛物线方程为：y^=2x
(2)抛物线准线方程为：x=p/2=-1/2，与x轴交点(-1/2,0)
l1∥l--->l1斜率=tg45°=1---->l1方程：x-y+1/2=0
抛物线上动点M(2s^,2s)到l1距离:
d=|2s^-2s+1/2|/√2=|2(s-1/2)^|√2≥0
∴M到L1的最小距离为0(相切)
(3)线段AB的中点纵坐标=(y1+y2)/2=1,横坐标=(x1+x2)/2
(y1-y2)^=(x1-x2)^
--->[2(y1^+y2^)-(y1+y2)^]=(x1+x2)^-(2x1)(2x2)
--->[2*2(x1+x2)-4]=(x1+x2)^-(y1y2)^
--->4(x1+x2)-4=(x1+x2)^-[(y1+y2)^-(y1^+y2^)]/4
--->4(x1+x2)-4=(x1+x2)^-[4-2(x1+x2)]/4=(x1+x2)^-4+(x1+x2)/2
--->2(x1+x2)^-7(x1+x2)+6=0
--->x1+x2=2,或x1+x2=3/2
∴线段AB的中点坐标为（1,1）或（3/4,1）
∴l的方程为：x-y=0，AB中垂线方程x+y=2，与x轴交点P(2,0)，关于l的对称点P'(0,2)不在抛物线上
或l的方程为：x-y+1/4=0，中垂线方程x+y=7/4，与x轴交点P(7/4,0)，关于l的对称点(-1/4,2)也不在抛物线上
原题是否有误？“A，B两点的纵坐标之和为2”应该不能作为第三问的条件。
。收起
