初三数学几何竞赛题任意三角形AB
此题有难度的。曾先后五次作为竞赛题。
第三届(1993年)澳门数学竞赛题;
第十四届(2001年)爱尔兰数学竞赛题；
第十八届(1958年)普特南数学竞赛题；
第二十六届(1994年)加拿大数学竞赛题；
首届(1987年)“友谊杯”国际数学竞赛题。
我曾证明过,情真意切有好证法。我一时找不到。
三角形ABC中，AH是边BC上的高，O为AH上任意一点，BO、CO的延长线分别交AC于D，AB于E，求证：∠DHA=∠EHA
注意题符号有变动,
下面用轴反射给出另一种证法
以BC边上高AD为轴,作轴反轴变换S(AH),设C→C',D→D'。
则C'在直线BC上,D'在直线AC'上。
且HC...全部
此题有难度的。曾先后五次作为竞赛题。
第三届(1993年)澳门数学竞赛题;
第十四届(2001年)爱尔兰数学竞赛题；
第十八届(1958年)普特南数学竞赛题；
第二十六届(1994年)加拿大数学竞赛题；
首届(1987年)“友谊杯”国际数学竞赛题。
我曾证明过,情真意切有好证法。我一时找不到。
三角形ABC中，AH是边BC上的高，O为AH上任意一点，BO、CO的延长线分别交AC于D，AB于E，求证：∠DHA=∠EHA
注意题符号有变动,
下面用轴反射给出另一种证法
以BC边上高AD为轴,作轴反轴变换S(AH),设C→C',D→D'。
则C'在直线BC上,D'在直线AC'上。
且HC'=HC，C'D'=CD，D'A=DA。
因为AH,BD,CE交于一点O，由Ceva定理得：
(BH/HC)*(CD/DA)*(AE/EB)=1
于是有
(BH/HC')*(C'D'/D'A)*(AE/EB)=1
∵H，D'，E分别是△ABC'的边BC'，C'A，AB所在直线上的点,
且其中一个点在边的延长线上,另外两点在边上。
由Menelaus定理知：三点H，D'，E共线。
也就是说,上D'在直线HE上。
而 ∠D'HA=∠DHA，
所以 ∠DHA=∠EHA
在锐角△ABC中,AD⊥BC,P为AD上一点，直线BP交AC于E，直线CP交AB于F。
求证: ∠PDE=∠PDF。
证明 以AD轴, 将Rt△CDA作轴反射变换，设C→C’,E→E’。则C’ 在直线BC上,E’在直AC’上，且DC’=DC，C’E’=CE，E’A=EA。
因为AD,BE,CF交于一点P, 由Ceva定理得:
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1。
于是有 (BD/DC’)*(C’E’/E’A)*(AF/FB)=1。
而D,E’,F分别在△ABC’的边BC’,C’A,AB所在直线上的点，且其中一个点D在边BC’的延长线上，另两点在边上。
由Menelaus定理知:D,E’,F三点共线, 也就是说点E’在DF上。
而∠E’DA=∠EDA, 故∠PDE=∠PDF。
。收起
