大学数学设f(x)的二阶导数连续，且f
题目有误!f(x)=sin2πx就是一个反例!
题目结论应改为:
存在t∈(0,1),使得f''(t)≥8。
证明:设c是f(x)在[0,1]上的一个最小值点,则00恒成立。因此g(x)在[0,c]上严格递增,从而
g(c)>g(0)=0。
这与g(c)≤0矛盾。
2。若g'(c)g(1)=0。
这与g(c)≤0矛盾。
也就是说,反设不成立,即存在t∈(0,1)使得g''(t)≥0,即
f''(t)=g''(t)+8≥8。
即原结论成立。
这道题中构造辅助函数g(x)这一步很关键,目的在于将f''(c)≥8转化成g''(c)≥0,再转化成g'(x)和g(x)的局部单调性问题。全部
题目有误!f(x)=sin2πx就是一个反例!
题目结论应改为:
存在t∈(0,1),使得f''(t)≥8。
证明:设c是f(x)在[0,1]上的一个最小值点,则00恒成立。因此g(x)在[0,c]上严格递增,从而
g(c)>g(0)=0。
这与g(c)≤0矛盾。
2。若g'(c)g(1)=0。
这与g(c)≤0矛盾。
也就是说,反设不成立,即存在t∈(0,1)使得g''(t)≥0,即
f''(t)=g''(t)+8≥8。
即原结论成立。
这道题中构造辅助函数g(x)这一步很关键,目的在于将f''(c)≥8转化成g''(c)≥0,再转化成g'(x)和g(x)的局部单调性问题。收起
