高赏金!!!高二数学题,今晚要写出
从圆(X-1)^2+(Y-1)^2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线,求切线的方程.麻烦大家写出详细的解答过程,有加分的哦
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从圆(X-1)^2+(Y-1)^2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线,求切线的方程。
解：设切线方程为ax+by+1=0 切线过P点：2a+3b+1=0……⑴ 切线到圆心(1,1)的距离为1：|a+b+1|/√(a^2+b^2)=1 ==> (a+b+1)^2=a^2+b^2 ==> 1+2ab+2a+2b=0……⑵ 由⑴：2a+2b=-1-b代入⑵，得到：2ab-b=0 ==> b=0 or a=1/2 代入⑴，解得：a=-1/2,b=0 or a=1/2,b=-2/3 所以所求切线方程为： (-1/2)x+1=0，即x=2 与(1/2)x-(2/3)y+1=0,即3x-4y+6=0。
解：设切线方程为ax+by+1=0 切线过P点：2a+3b+1=0……⑴ 切线到圆心(1,1)的距离为1：|a+b+1|/√(a^2+b^2)=1 ==> (a+b+1)^2=a^2+b^2 ==> 1+2ab+2a+2b=0……⑵ 由⑴：2a+2b=-1-b代入⑵，得到：2ab-b=0 ==> b=0 or a=1/2 代入⑴，解得：a=-1/2,b=0 or a=1/2,b=-2/3 所以所求切线方程为： (-1/2)x+1=0，即x=2 与(1/2)x-(2/3)y+1=0,即3x-4y+6=0。
解法1：
若切线的斜率K存在，设切线方程为y-3=K(x-2)；
即Kx－y＋3－2K=0，已知圆的圆心为(1,1)，半径为1
∴|k-1+3-2k|/√(k^2+1)=1
解得k=3/4
则切线方程为y-3=(3/4)(x-2)；整理得3x-4y+6=0
若切线的斜率不存在，则x=2，直线x=2过(2，3)点与圆相切
故所求切线方程为3x－4y＋6=0或x=2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
解法2：
当k存在时，设切线方程为y－3=K(x-2)；由方程组：
y-3=k(x-2)；(x-1)^2+(y-1)^2=1
得：(k^2+1)x^2-2(2k^2-2k+1)x+4(k^2-1)=0
令判别式△=4(2k^2-2k+1)^2-4*(1+k^2)*4(k^2-1)=0
解得k=3/4
当k不存在时，另一条切线为x=2；
故所求切线方程为3x－4y＋6=0，或x=2，
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
解法3：
画图立即知道x=2就是一条切线。
设P和圆心的连线与x=2所成的角为A；则tgA=(2-1)/(3-1)=1/2 ∴两条切线的夹角为2A ∵tg2A=2tgA/(1-tgA^2)=1/[1-(1/4)]=4/3 ∴另外一条切线的斜率为tg(90°-2A)=ctg2A=3/4 ∴其方程为y=(3/4)(x-2)+3 =(3/4)x+(3/2)。
。
设P和圆心的连线与x=2所成的角为A；则tgA=(2-1)/(3-1)=1/2 ∴两条切线的夹角为2A ∵tg2A=2tgA/(1-tgA^2)=1/[1-(1/4)]=4/3 ∴另外一条切线的斜率为tg(90°-2A)=ctg2A=3/4 ∴其方程为y=(3/4)(x-2)+3 =(3/4)x+(3/2)。
。
设过P(2,3)的直线方程是y-3=k(x-2)--->kx-y+(3-2k)=0(*)
由圆心Q(1,1)到直线(*)的距离等于半径1的直线是切线。
解方程：|k-1+(3-2k)|/(1+k^2)=1
--->|2-k|=(1+k^2)
--->(2-k)^2=1+k^2(**)
--->3-4k=0
--->k=3/4
于是切线之一的方程是y-1=3/4*(x-1)，就是3x-4y+1=0。
圆外一点向圆引切线应该是两条，此处缺失一条，是因为另一条切线的倾角是90度，它的斜率不存在。过点P(2,3)垂直于x轴的直线方程是x=2。 所以两条切线的方程是x=2，以及3x-4y+1=0。
附注：斜率的缺失源于直线的倾角是直角。从方程看就是一般情况下(**)应该是二次方程。 如果它的二次项消失成为一次方程，就意味着一个斜率不存在。这时切线之一的斜率不存在，应该找回。
假如想要避免这样，可以写出以圆心及圆外点连线为直径的圆的方程。求出两个切点，再写出切线方程。【对本题如此做以后，就会得到一个切点是（2，1）】。
圆外一点向圆引切线应该是两条，此处缺失一条，是因为另一条切线的倾角是90度，它的斜率不存在。过点P(2,3)垂直于x轴的直线方程是x=2。 所以两条切线的方程是x=2，以及3x-4y+1=0。
附注：斜率的缺失源于直线的倾角是直角。从方程看就是一般情况下(**)应该是二次方程。 如果它的二次项消失成为一次方程，就意味着一个斜率不存在。这时切线之一的斜率不存在，应该找回。
假如想要避免这样，可以写出以圆心及圆外点连线为直径的圆的方程。求出两个切点，再写出切线方程。【对本题如此做以后，就会得到一个切点是（2，1）】。
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