已知直角坐标系xoy中，m,n在单位圆上，∠xom=a,∠xon=x
向量pq=(cosx,-sinx+4/5cosa)（1）当cosxa=4/5sinx时，求函数y=向量on点乘向量pq的最小正周期（2）当向量om点乘向量on=12/13,向量om∥向量pq,a-x,a+x都是锐角时，求cos2a的值？
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向量PQ=(cosx,-sinx+4/5cosa)
(1)当cosa=4/5sinx时, 求函数y=向量on·向量pq的最小正周期
(2)当向量om·向量on=12/13, 向量om∥向量pq, a-x, a+x都是锐角时, 求cos2a的值？
解：
(1)ON(cosx,sinx), PQ=(cosx,-sinx+4/5cosa)
y=ON·PQ
`=cos²x-sin²x+(4/5)sinx/cosa
`=cos²x
`=cos2x/2+1/2
所以最小正周期是π
(2)OM=(cosa,sina), PQ=(cosx,-sinx+4/5cosa)
由OM·ON=12/13, 得
OM·ON=cosacosx+sinasinx=cos(a-x)=12/13
sin(a-x)=5/13
由OM∥PO, 得
cosa(-sinx+4/5cosa)=sinacosx
即sinacosx+sinxcosa=4/5
即sin(a+x)=4/5, cos(a+x)=3/5
∴cos2a=cos[(a-x)+(a+x)]
```````=cos(a-x)cos(a+x)-sin(a-x)sin(a+x)
```````=12/13*3/5-5/13*4/5
```````=16/65
。
。
。
向量ON=(cosx,sinx),PQ=(cosx,-sinx+（4/5）cosa)，
∴y=ON*PQ=cos^x-sin^x+(4/5)sinxcosa,
cosa=(4/5)sinx,
∴y=cos2x+(16/25)sin^x
=cos2x+(8/25)(1-cos2x)
=(17/25)cos2x+8/25,
它的最小正周期=π。
（2）向量OM=(cosa,sina), 由OM平行PQ得sinacosx=-cosasinx+(4/5)cos^a, ∴sin(a+x)=(4/5)cos^a=(2/5)(1+cos2a)=(2/5)(1+t), 其中t=cos2a。
向量OM*ON=cosacosx+sinasinx=cos(a-x)=12/13, a-x,a+x都是锐角， ∴2a∈(0,π),sin(a-x)=5/13, cos(a+x)=√[1-(4/25)(1+t)^], cos2a=cos[(a-x)+(a+x)], ∴t=12/13*√[1-(4/25)(1+t)^]-5/13*(2/5)(1+t), ∴75t+10=12√[25-4(1+t)^], 平方得5625t^+1500t+100=144[25-4(1+2t+t^)], 6201t^+2652t-2924=0,繁！ 请检查题目。
（2）向量OM=(cosa,sina), 由OM平行PQ得sinacosx=-cosasinx+(4/5)cos^a, ∴sin(a+x)=(4/5)cos^a=(2/5)(1+cos2a)=(2/5)(1+t), 其中t=cos2a。
向量OM*ON=cosacosx+sinasinx=cos(a-x)=12/13, a-x,a+x都是锐角， ∴2a∈(0,π),sin(a-x)=5/13, cos(a+x)=√[1-(4/25)(1+t)^], cos2a=cos[(a-x)+(a+x)], ∴t=12/13*√[1-(4/25)(1+t)^]-5/13*(2/5)(1+t), ∴75t+10=12√[25-4(1+t)^], 平方得5625t^+1500t+100=144[25-4(1+2t+t^)], 6201t^+2652t-2924=0,繁！ 请检查题目。
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