华罗庚要证明的是什么？
华罗庚在１９４０年证明了：对于任何ε＞０皆有
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其中ｃ（ｋ，ε）为仅依赖于Ｋ与ε的常数。这一结果是臻于至善的。它是Ｃ．Ｆ．高斯（Ｇａｕｓｓ）和与高斯定理的推广：@标图莫改莫删说末@
关于指数和的积分平均，华罗庚证明了：对于任意ε＞０，当１≤ｊ≤ｋ时有
由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于Ｈ．外尔（Ｗｅｙｌ）和的估计及他关于素变数三角和的估计，华罗庚研究了方程Ｎ＝ｆ１（ｘ１）十…十ｆｉ（ｘｉ）（３）的可解性问题，此处ｆｉ（ｘ）（１≤ｉ≤ｓ）为ｓ个ｋ次首项系数为正的整值多项式，Ｎ为给定正整数。 特别当ｆｉ（ｘ）＝ｘｋ时，就得到著名的华林问题。若在（３...全部
华罗庚在１９４０年证明了：对于任何ε＞０皆有
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其中ｃ（ｋ，ε）为仅依赖于Ｋ与ε的常数。这一结果是臻于至善的。它是Ｃ．Ｆ．高斯（Ｇａｕｓｓ）和与高斯定理的推广：@标图莫改莫删说末@
关于指数和的积分平均，华罗庚证明了：对于任意ε＞０，当１≤ｊ≤ｋ时有
由这两条重要定理及维诺格拉多夫关于Ｈ．外尔（Ｗｅｙｌ）和的估计及他关于素变数三角和的估计，华罗庚研究了方程Ｎ＝ｆ１（ｘ１）十…十ｆｉ（ｘｉ）（３）的可解性问题，此处ｆｉ（ｘ）（１≤ｉ≤ｓ）为ｓ个ｋ次首项系数为正的整值多项式，Ｎ为给定正整数。
特别当ｆｉ（ｘ）＝ｘｋ时，就得到著名的华林问题。若在（３）中限制ｘｉ取素数，ｆｉ（ｘ）＝ｘ及ｓ＝２，３，即得著名的哥德巴赫猜想。对于华林问题，首先是希尔伯特于１９００年证明了，存在ｃ（ｋ），当ｓ≥ｃ（ｋ）时，（３）有解。
当Ｎ充分大时，最小的ｓ记为Ｇ（ｋ）以后，哈代与利特尔伍德用他们的“圆法”对Ｇ（ｋ）作了定量估计。维诺格拉多夫则大大地改进了Ｇ（ｋ）的估计，他还证明了“三素数定理”，即充分大的奇数都是三个素数之和。
华罗庚将华林问题的重要结果基本上推广到方程（３）的情况，而且限制变数为素数，自然包括“三素数定理”作为特例。他的成果总结在他的专著《堆垒素数论》之中。这本书已成为经典著作。
解析数论最上乘的工作之一是有一个纯分析的不等式（这称为方法）并附有这一不等式的重要应用。
华罗庚的工作就是这样的。
在华罗庚领导的堆垒素数论中心问题哥德巴赫猜想讨论班上，王元、潘承洞与陈景润相继对筛法、大筛法应用及哥德巴赫猜想的结果作出改进。陈景润于１９６６年证明了
“每一充分大的偶数都是一个素数与（４）
一个不超过两个素数之积之和”。
２．体论。
若一个环ｋ，其每一元素关于乘法都有逆元素，但对乘法来说是非交换的，则ｋ称为体。命б是体ｋ到它自身的一个一一映射。如果б满足（ａ十ｂ）б＝ａб十ｂб，（ａｂａ）б＝ａбｂбａб，１б＝１，则称б为半自同构。
熟知的半自同构的例子为自构同：（ａｂ）б＝ａбｂб，与反自同构：（ａｂ）б＝ｂбａб。问除此之外，还有无其他半自同构？华罗庚于１９４９年证明了：
“每一个半自同构或为自同构或为反自同构”。
（５）同年，华罗庚还给下面结果一个初等证明：
“体的每一个真正规子体均包含在它的中心之中”（Ｈ．（６）
嘉当（Ｃａｒｔａｎ）Ｒ．Ｄ．布劳尔（Ｂｒａｕｅｒ）华氏定理）。
Ｐ．Ｔ．贝特曼（Ｂａｔｅｍａｎ）用沙翁名著《罗米欧与朱丽叶》中的诗句“没有一口井那么深，也没有教堂门那么宽，像茂丘西奥的伤口一样致命呀！”来赞扬华罗庚的结果（４）与（５）。
１９５０年，华罗庚还证明了体的乘法群的一个定理：
“体的乘法群不是亚阿贝尔群”。（７）
３．矩阵几何、自守函数、典型群论与多复变数函数论。
华罗庚将这几个学科放在一起研究。
他在这几方面的研究是密切相关的。将一个变数推广到多个变数往往无从下手，以矩阵为变元则为特殊的多变数问题。这时代数工具可能使用，一行一列的矩阵就是单变数，又可能借用单变数时的结果做背景，所以华罗庚研究的方法均重用矩阵运算，从而形成了具有自己特色的开拓性工作。
１９３５年，Ｅ．嘉当（Ｃａｒｔａｎ）证明了，在解析映射下，只有６类不可约、齐性、有界对称域，其中两类是例外域，维数分别是１６与２７。其余４类称为典型域，可以用矩阵表示如下：
Ｒ１＝｛ｍ×ｎ矩阵Ｚ满足Ｉ（ｍ）－ＺＺ＊＞０｝，
Ｒｌ＝｛ｎ阶对称方阵满足Ｉ（ｎ）－ＺＺ＊＞０｝，
Ｒ１＝｛ｎ阶斜对称方阵满足Ｉ（ｎ）－ＺＺ＊＞０｝，
其中Ｚ的元素为复变数，Ｉ（ｍ）表示ｍ阶单位方阵，Ｚ＊表示Ｚ＇的复共轭矩阵，ｚ＇表示ｚ的转置。
典型域可以看作普通复平面上的单位圆在高维空间的类似。其重要性有如单位圆之于复平面，其应用与影响又超过多复变函数论。
华罗庚给出了４类典型域的运动群的矩阵表示，算出Ｓ．伯格曼（Ｂｅｒｇｍａｎ）核，重新证明了３种类型的双曲空间的黎曼（Ｒｉｅ－ｍａｎｎ）曲率都是非正的，从而推知其几何相当正规。
这就导至华罗庚开拓了“矩阵几何学”这一领域。在矩阵几何中，空间的点是某类矩阵，其背景是典型域。华罗庚的目的在于在这些矩阵空间中推广复平面的几何基本定理——Ｋ．Ｇ．Ｃ．冯·施陶特（ｖｏｎＳｔａｕｄｔ）定理：每一个将复平面映射到自身的保持调和分隔不变的拓扑变换必为直射变换或反直射变换。
例如对复数域上的对称矩阵空间，华罗庚证明了：
“一个连续的将对称矩阵映射为对称矩阵并保持（８）
算术距离不变的映射必为辛变换或反辛变换”。
但怎样用尽量简单的几何不变量来刻划运动群呢？１９５１年，华罗庚发现“粘切”就够了，所谓矩阵Ｍ与Ｎ粘切，即Ｍ－Ｎ的秩为１。
华罗庚还研究了基域是体的矩阵几何学。
１９５３年，华罗庚用群表示论方法具体得出４类典型域的完整正交系，这相当于在复平面上找到了完整正交系ｅ（ｎθ）（ｎ＝０，士１，…）。借助于典型域的完整正交系，华罗庚得出４类典型域的柯西（Ｃａｕｃｈｙ）核、赛格（Ｓｚｅｇｏ）核与泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）核。
辛群在华罗庚的自守函数论与矩阵几何的研究中都很重要。很自然地，他会研究辛群的自同构问题。１９４６年，华罗庚发表了他确定辛群自同构的文章。这是他研究典型群的开端。以后的一系列工作，形成了他研究典型群论的独特方法，即先解决尽可能低维的问题，再用数学归纳法推广到高维。
华罗庚处理典型群自同构问题的方法很初等，即着重矩阵运算。
华罗庚在这方面的工作由万哲先、陆启铿与龚?N继续着，得到了发展与应用。
４．应用数学。
从１９５９年开始，华罗庚与王元合写了一系列论文，研究了在近似分析中，如何用基于数论思想的可计算与决定性方法来尽可能取代统计实验的蒙特卡罗（ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ）方法的问题。
他们的方法的要点为用一组独立单位或线性递推公式来构造一个代数数域的整底的联立有理逼近，从而定出高维单位立方体的一致分布点列并得出其偏差估计。由一致分布点列可以代替蒙特卡罗方法中的随机数，故又称为伪随机数。
例如，设｛Ｆｎ｝表示Ｌ．斐波那契（Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ）贯，即由递推公式Ｆ０＝０，Ｆ１＝１，Ｆｎ＋１＝Ｆｎ十Ｆｎ－１（ｎ≥１）定义的整数列。假定ｆ（ｘ，ｙ）的导数
及其低维导数均囿于Ｃ，且每个变数均有周期１，则得
这是臻于至善的估计。
华罗庚还对“统筹法”，即ＣＰＭ与ＰＥＲＴ与“优选法”，亦即Ｊ．基弗（Ｋｉｅｆｅｒ）的“黄金分割法”与“斐波那契法”作了简化，并在中国工业部门作了广泛的普及与使用。
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