已知梯形ABCD中,AD//BC,且AD=3,BC=5,E、F分别在AB、CD上，若EF把梯形分成面积相等的两部分，则EF等于多少？ （请给出详细过程！）
以下所写的不一定是本题的答案，因为答案已经有人提供了。我只是利用这空间和平台就本题提出一些扩展性问题跟各位共同探讨和研究，算是抛砖引玉，引起各位对“尺规作图”的兴趣和重视，包括：
1。已知梯形上底为a，下底为b，求EF
2。 如何作EF？
3。自梯形各边上任一点如何作一直线把它分成面积相等的两部分？
【答题1】：（图1）设EF已作。作DM // AB交BC和EF于M和N。作DH垂直BC于H,
交EF于G。设NF = x、DH = h、DG = y，则MC = b－a 。
∵ △DNF∽△DMC ∴ y / h = x / (b－a) 即y = hx / (b－a)……(1)
∵...全部
以下所写的不一定是本题的答案，因为答案已经有人提供了。我只是利用这空间和平台就本题提出一些扩展性问题跟各位共同探讨和研究，算是抛砖引玉，引起各位对“尺规作图”的兴趣和重视，包括：
1。已知梯形上底为a，下底为b，求EF
2。
如何作EF？
3。自梯形各边上任一点如何作一直线把它分成面积相等的两部分？
【答题1】：（图1）设EF已作。作DM // AB交BC和EF于M和N。作DH垂直BC于H,
交EF于G。设NF = x、DH = h、DG = y，则MC = b－a 。
∵ △DNF∽△DMC ∴ y / h = x / (b－a) 即y = hx / (b－a)……(1)
∵ 梯形AEFD面积等于梯形ABCD面积的一半
∴（a+a+x）y /2 = (a+b)h / 4 ……(2) 解（1）、（2）方程组（中间过程消去h）取正数解
得x= [√2*√(a平方＋b平方)/2]－a 即EF = √2*√(a平方＋b平方)/2
【答题2】：（图2）（1）作c平方= a平方＋b平方
（2）作m = √2 c
（3）作m/2
（4）在BC上截BF’=m/2
（5）作FF'// AB且交CD于F
（6）过F点作BC的平行线交AB于E点，则线段EF为所求。
【答题3】：（图3）在腰AB上选一点P，连PF，过点E作PF的平行线与CD相交于Q点，
连PQ，则线段PQ为所求。（很易证两个黄色三角形的面积相等）。
但当Q当与C点重合时，其面积等分线为CG（图4）。
在线段AG内的点P所作的面积等分线的作法只能是：连PC，过点G作PC的平行线与BC相交于Q点，连PQ，则线段PQ为所求。
如（图5）分别作AD和BC的中点E和F，连EF，则线段EF为梯形面积等分线。
在上底内选一点P，连PF，过点E作PF的平行线与BC相交于Q点，连PQ，则线段PQ为所求。（很易证两个黄色三角形的面积相等）。
但当P点与A点重合时，其面积等分线为AG（图6）。在线段CG内的点P所作的面积等分线的作法只能是：连PA，过点G作PA的平行线与AB相交于Q点，连PQ，则线段PQ为所求。
【说明】：“答题3”若没有预先作好平行于底边的线段EF，则“作法”如下：（图7）
（1）分别作两底的中点E和F，连EF
（2）自A、D两点依EF分别作面积等分线AG和DH
（3）自B、C两点分别依DH和AG作面积等分线BQ和CP
（4）线段AD和HG上的点依EF作面积等分线
（5）线段AB和CG上的点依CP作面积等分线
（6）线段CD和BH上的点依BQ作面积等分线
【提问题】：以上均设定四边形ABCD是梯形，若四边形ABCD是凸四边形，则在各边上任一点如何作一直线把它分成面积相等的两部分？
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收起
