三角形的面积计算公式

什么是三角形旁心？什么是三角形旁心呢，

三角形的丰富性质 我们都知道，任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外，还有以下重要性质： 一是“欧拉线”，即经过三角形的垂心、质心和外心三心的直线，且质心在外心和垂心的三等分点上。 但欧拉线未揭示出三角形内心、旁心的性质。 二是“九点圆”，即经过三角形三边中点、三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆。九点圆与三角形的三个旁切圆相切，圆心也在欧拉线上，且圆心到三角形垂心、外心距离相等。 九点圆又称“费尔巴哈圆”、“欧拉圆”。 经过研究，我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质： 一是任意三角形有三条“九点线”，九点线是指从三角形的一个顶点，引两个底角的内、外角平分线垂线得到的四个...全部

  三角形的丰富性质 我们都知道，任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外，还有以下重要性质： 一是“欧拉线”，即经过三角形的垂心、质心和外心三心的直线，且质心在外心和垂心的三等分点上。
  但欧拉线未揭示出三角形内心、旁心的性质。 二是“九点圆”，即经过三角形三边中点、三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆。九点圆与三角形的三个旁切圆相切，圆心也在欧拉线上，且圆心到三角形垂心、外心距离相等。
  九点圆又称“费尔巴哈圆”、“欧拉圆”。 经过研究，我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质： 一是任意三角形有三条“九点线”，九点线是指从三角形的一个顶点，引两个底角的内、外角平分线垂线得到的四个垂足、该顶点两邻边中点、经过该顶点的角平分线中点、高线中点、中线中点，此九点共线。
  九点线经过三角形的一条中位线，因而平行于三角形的一边。 二是第二个九点圆，第二个九点圆是指三角形的三个顶点、三角形三个旁心构成的三角形（以下简称“旁心三角形”）的三边中点、三角形内心与三个旁心联线中点，此九点共圆。
  又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合，因而第二个九点圆又可称为“十二点圆”。第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质，且与三角形的外接圆重合，圆心在三角形的外心上，第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1。
   三是一条“九心线”，三角形的内心、外心，由三角形的三边中点构成的三角形（以下简称“中点三角形”）垂心，旁心三角形的垂心、质心、外心，旁心三角形的中点三角形的垂心、质心、外心，此九心共线。
  九心线与欧拉线相交于三角形的外心。 四是一些线段和的不等关系： 1。 三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或 等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形。
   2。 三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形。 3。 三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形。
   4。 三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形。 5。 三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形（以下简称“分角三角形”）的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形。
   6。 分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形。 7。 分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形。
   8。 分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形。 五是两个面积不等关系： 1。
   三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形*。 2。 分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立， 此时分角三角形也是正三角形。
   六是两个夹角范围，由于尚未给出严格的证明，故作为猜想提出： 1。 三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30° 2。 三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30° 已经得出的结论是： l 当三角形为等腰三角形时，θ1、θ2均为0°； l θ1、θ2取接近30°值时，三角形不可能是等腰三角形或直角三角形。
   l 一个典型的实例是当三角形的三边为34、2493、2509时，θ1=29。658°。 七是其它一些性质： 1。 三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合。
   2。 中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合，且两质心重合，中点三角形的垂心与原三角形的外心重合，两条欧拉线上的垂心、质心、外心排列方向相反。 3。 两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2。
   4。 三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形（以下简称“垂足三角形”）的第一九点圆半径之比为2:1。 5。 三角形内接于它的旁心三角形*。
   6。 三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角，且垂直与旁心三角形的一边，从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*。 作为特殊三角形的等腰三角形，它的九心线与欧拉线重合，并且是等腰三角形的对称轴，该线经过与三角形有关的无数“颗”心。
  例如：它经过三角形本身的垂心、质心、外心、内心和一个旁心等“五心”，经过三角形的旁心三角形的五心，旁心三角形的旁心三角形的五心……，三角形的中点三角形的五心，中点三角形的中点三角形的五心……，三角形的分角三角形的五心，分角三角形的分角三角形的五心……，三角形的垂足三角形的五心，垂足三角形的垂足三角形的五心……，以及各三角形的复合三角形的一些心，等等。
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