求最小值
a,b,c＞0,a+b+c=1 求1/a+4/b+9/c的最小值 请不要用什么柯西定理。
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解：
∵a、b、c>0且a+b+c=1,
∴1/a+4/b+9/c
=(a+b+c)(1/a+4/b+9/c)
=14+(b/a+4a/b)+(c/a+9a/c)+(4c/b+9b/c)。
。。 。。。(1) 而由均值不等式得 b/a+4a/b≥2根(b/a*4a/b)=4 。 。。。。。(2) c/a+9a/c≥2根(c/a*9a/c)=6 。
。。。。。(3) 4c/b+9b/c≥2根(4c/b*9b/c)=12 。。。。。。(4) 由(2)、(3)、(4)代入(1),得 1/a+4/b+9/c≥36 上式取“=”得,本题所求最小值为36。
此时,依均值不等式取等条件知,有且只有 {b/a=4a/b, {c/a=9a/c, {4c/b=9b/c 考虑到a、b、c>0,解上述方程组得 a=1/6,b=1/3,c=1/2。
。。 。。。(1) 而由均值不等式得 b/a+4a/b≥2根(b/a*4a/b)=4 。 。。。。。(2) c/a+9a/c≥2根(c/a*9a/c)=6 。
。。。。。(3) 4c/b+9b/c≥2根(4c/b*9b/c)=12 。。。。。。(4) 由(2)、(3)、(4)代入(1),得 1/a+4/b+9/c≥36 上式取“=”得,本题所求最小值为36。
此时,依均值不等式取等条件知,有且只有 {b/a=4a/b, {c/a=9a/c, {4c/b=9b/c 考虑到a、b、c>0,解上述方程组得 a=1/6,b=1/3,c=1/2。
首先，一定没有最大值，因为，任何一个趋于 0 时，结果都是无限大。
问题变为求最小值。
把 a+b+c = 1 代入分子，得
(a+b+c)/a + 4(a+b+c)/b + 9(a+b+c)/c =
1 + 4 + 9 + (b/a + 4a/b) + (c/a + 9a/c) + (4c/b + 9b/c)
下面考虑后三项，首先看 b/a + 4a/b ，设 b/a = t,
t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2 >= 0
t^2 + 4 >= 4t ,
t + 4/t >=4 , 所以，b/a + 4a/b >=4, 并且，当 b/a = 2 时，等号成立。
利用同样的配平方的原理，可知， c/a + 9a/c >= 6 , c/a = 3 时，等号成立。 4c/b + 9b/c >= 12 , c/b = 3/2 时，等号成立。
并且，这三个等号成立的条件是可以同时达到的，此时， a = 1/6 b = 2/6 c = 3/6 此时，可以取最小值，其他情况一定大于这时的值。 (1/a)+(4/b)+(9/c)的极小值 = 36 。
利用同样的配平方的原理，可知， c/a + 9a/c >= 6 , c/a = 3 时，等号成立。 4c/b + 9b/c >= 12 , c/b = 3/2 时，等号成立。
并且，这三个等号成立的条件是可以同时达到的，此时， a = 1/6 b = 2/6 c = 3/6 此时，可以取最小值，其他情况一定大于这时的值。 (1/a)+(4/b)+(9/c)的极小值 = 36 。
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