一道高二数学题4,抛物线的顶点在
抛物线的顶点在原点,以X轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135度的直线,被抛物线所截的弦长为8,求抛物线的方程
解:设抛物线的方程为y^2=2px。。。。。(1),焦点F(p/2,0)
倾斜角为135度的直线的斜率为k=tan135°=-1
∴经过焦点且倾斜角为135度的直线的方程为y-0=-1(x-p/2),
即y=-x+p/2。 。。。。 (2)代入(1):
(-x+p/2)^2=2px,x^2-px+p^2/4=2px,→x^2-3px+p^2/4=0
两根x1,x2为直线与抛物线交点的横坐标,
x1+x2=3p,x1*x2=p^2/4
直线与抛物线交点的纵坐标y1=-x1+p/2...全部
抛物线的顶点在原点,以X轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135度的直线,被抛物线所截的弦长为8,求抛物线的方程
解:设抛物线的方程为y^2=2px。。。。。(1),焦点F(p/2,0)
倾斜角为135度的直线的斜率为k=tan135°=-1
∴经过焦点且倾斜角为135度的直线的方程为y-0=-1(x-p/2),
即y=-x+p/2。
。。。。
(2)代入(1):
(-x+p/2)^2=2px,x^2-px+p^2/4=2px,→x^2-3px+p^2/4=0
两根x1,x2为直线与抛物线交点的横坐标,
x1+x2=3p,x1*x2=p^2/4
直线与抛物线交点的纵坐标y1=-x1+p/2,y2=-x2+p/2
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1*x2=9p^2-p^2=8p^2
(y2-y1)^2=[(-x2+p/2)-(-x1+p/2)]^2=
(x1-x2)^2=(x2-x1)^2=8p^2
所截的弦长为8:
√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=8
[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=8^2
8p^2+8p^2=64
p^2=4(p>0)∴p=2
∴抛物线的方程y^2=4x
。收起
