能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使在任何5个相连的数中，至少有两个数被3整除？

你能说出其中的道理吗？任意给出三

解法一： 假设他们差没有3的倍数，那么它们除以3余数一定不同，那么自然余0，1，2了；余1，2的两个数加起来就能整除3了。 解法二： 简单来说，一个自然数，除以3之后的余数不外乎三种情况，1，2或是整除。 我们任取两个自然数，分三种情况： （1）如果两个数除以3的余数相等或都被3整除时，比如6和12，4和7，5和23，它们的差必为3的倍数。12-6=6，7-4=3，23-5=18 （2）如果两个数的余数一个为1，一个为2，比如4和5，它们的和必为3的倍数。 4+5=9 （3）只有两个数一个被3整除，另一个有余数时，它们的和或是差都不能被3整除。 但是第3种情况时，我们不论怎么取数，我...全部

  解法一： 假设他们差没有3的倍数，那么它们除以3余数一定不同，那么自然余0，1，2了；余1，2的两个数加起来就能整除3了。 解法二： 简单来说，一个自然数，除以3之后的余数不外乎三种情况，1，2或是整除。
   我们任取两个自然数，分三种情况： （1）如果两个数除以3的余数相等或都被3整除时，比如6和12，4和7，5和23，它们的差必为3的倍数。12-6=6，7-4=3，23-5=18 （2）如果两个数的余数一个为1，一个为2，比如4和5，它们的和必为3的倍数。
  4+5=9 （3）只有两个数一个被3整除，另一个有余数时，它们的和或是差都不能被3整除。 但是第3种情况时，我们不论怎么取数，我们所取的第三个数都会和已经有的两个数满足前两种情况之一： 例如，我们取3(整除)和4(余1)，在取第三个自然数 时，如果是和已经取的数余数相同的数，如6(整除)或7(余1)，那么有6-3=3，7-4=3。
   如果我们取和已经取的数余数不同的数，如5(余2)，那么有4+5=9。 解法三： 根据被3除的余数，对自然数分类，余0，余1，余2。 构造抽屉（0，0）、（1，1）、（2、2）这三个是差能被3整除，以及（1，2）这个是和能被3整除。
  共4个抽屉。 3个数，彼此的和或者差，共（1+2）*2=6种。 把6个苹果放入4个抽屉，必然一个抽屉里有2个苹果，即有2个苹果位于一个抽屉。即余数在同一个括号里。 原命题得证。 解法四：从三个抽屉中取出三个数：要么一个抽屉中取一个；要么一个抽屉中取2个，另一个抽屉中取1个；要么三个都从一个抽屉中取。
   而这三种情况中都一定能找到两个数的和或差是3的倍数。 解法五： 任意给出三个不同的自然数，有下列几种可能： 1）三个不同的自然数均是3的倍数，则其中任意两个数的和或差是3的倍数。
   2）三个不同的自然数中有两个是3的倍数，则这两个不同的自然数均是3的倍数 3）三个不同的自然数中有1个是3的倍数，有下列2中情况： （1）A=3m,B=3k+1,C=3n+1,则/B-C/=3/k-n/为3的倍数 （2）A=3m,B=3k+1,C=3n-1,则/B+C/=3/k+n/为3的倍数 4)三个不同的自然数中没有3的倍数，有下列2中情况： （1）A=3m+1,B=3k+1,C=3n-1,则/A-B/=3/m-k/为3的倍数 （2）A=3m+1,B=3k-1,C=3n-1,则/B-C/=3/k-n/为3的倍数 所以，任意给出三个不同的自然数，其中一定有两个数的和或差是3的倍数。
  收起