已知正数数例{an}的前项和为Sn
已知正数数例{an}的前项和为Sn，旦对任意正整数n满足2根号Sn=an+1(1)求a1,a2,a3
全部回答
(1)
Sn=(an+1)^2/4
取n=1代入,S1=(a1+1)^2/4,即a1=(a1+1)^2/4,解得a1=1
取n=2代入,S2=(a2+1)^2/4,即a1+a2=(a2+1)^2/4,解得a2=3
取n=3代入,S1=(a3+1)^2/4,即a1+a2+a3=(a3+1)^2/4,解得a3=5
(2)猜想:an=2n-1
验证:
一方面,Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2
另一方面,Sn=(an+1)^2/4=[(2n-1)+1]^2/4=n^2
所以,猜想正确。
(3)bn=1/(anan+1)=[1/(2n-1)(2n+1)]=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2 Tn=1/1*3 + 1/3*5+1/5*7+1/7*9+…+1/anan+1 =[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+(1/(2n-1)-1/(2n+1))]/1 =[1-1/(2n+1)]/2 ＜1/2 。
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(3)bn=1/(anan+1)=[1/(2n-1)(2n+1)]=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2 Tn=1/1*3 + 1/3*5+1/5*7+1/7*9+…+1/anan+1 =[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+(1/(2n-1)-1/(2n+1))]/1 =[1-1/(2n+1)]/2 ＜1/2 。
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1)2√Sn=an+1--->Sn=(an+1)^2/4
令n=2--->S1=a1=(a1+1)^2/4解得a1=1
又S(n-1)=[a(n-1)+1]^2/4
所以Sn-S(n-1)=(an+1)^2/4-[a(n-1)+1]^2/4
就是an=(an)^2+[a(n-1)]^2+2an-2a(n-1)}/4
--->4an=(an)^2+[a(n-1)]^2+2an-2a(n-1)
--->(an)^2+[a(n-1)]^2+2an-a(n-1)=0
--->[an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-2]=0
由题意可推得an>0,所以an-a(n-1)=2
因此数列{an}是等差数列，其公差是2，首项是1
故通项an=1+2(n-1)=2n-1。
2)bn=1/[ana(n+1)? ? ? 所以bn=1/[(2n-1)(2n+1)] =[(2n+1)-(2n-1)]/[2(2n-1)(2n+1)] =(1/2)/(2n-1)-(1/2)/(2n+1) 因此Tn=(1/2){(1-1/3)+(1/3-1/5)+……+[1/(2n-1)-1/(2n+1)} =(1/2)[1-1/(2n+1)] =(1/2)*2n/(2n+1) =n/(2n+1) <n/(2n) =1/2 因此Tn<1/2。
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2)bn=1/[ana(n+1)? ? ? 所以bn=1/[(2n-1)(2n+1)] =[(2n+1)-(2n-1)]/[2(2n-1)(2n+1)] =(1/2)/(2n-1)-(1/2)/(2n+1) 因此Tn=(1/2){(1-1/3)+(1/3-1/5)+……+[1/(2n-1)-1/(2n+1)} =(1/2)[1-1/(2n+1)] =(1/2)*2n/(2n+1) =n/(2n+1) <n/(2n) =1/2 因此Tn<1/2。
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