初二数学（33）
已知对于正整数n，有{1/[（n+1）（根号n）+n（根号n+1）]}=[1/（根号n）]- [1/根号（n+1）]，若某个正整数k满足{1/[2（根号1）+（根号2）]}+ {1/[3（根号2）+2（根号3）]}+ {1/[4（根号3）+3（根号4）]}+ …+{1/[（k+1）（根号k）+ k（根号（k+1））]}=2/3，则k等于多少？
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已知对于正整数n，有{1/[（n+1）（√n）+n√（n+1）]}
=[1/（√n）]- [1/√（n+1）]，若某个正整数k满足{1/[2（√1）+（√2）]}+ {1/[3（√2）+2（√3）]}+ {1/[4（√3）+3（√4）]}+ …+{1/[（k+1）（√k）+ k（√（k+1））]}=2/3，则k等于多少？
解：
{1/[（n+1）（√n）+n√（n+1）]}
=[（n+1）（√n）-n√（n+1）]}/[（n+1）（√n）+n√（n+1）]}×[（n+1）（√n）-n√（n+1）]}
=[（n+1）（√n）-n√（n+1）]}/[n（n+1）＾-（n+1）n＾]
=[（n+1）（√n）-n√（n+1）]}/n（n+1）
=[1/（√n）]- [1/√（n+1）]
{1/[2（√1）+（√2）]}+ {1/[3（√2）+2（√3）]}+ {1/[4（√3）+3（√4）]}+ …+{1/[（k+1）（√k）+ k（√（k+1））]}=2/3
{1/[2（√1）+（√2）]}+ {1/[3（√2）+2（√3）]}+ {1/[4（√3）+3（√4）]}+ …+{1/[（k+1）（√k）+ k（√（k+1））]}
=[（1/√1）-1/√2]+[（1/√2）-1/√3]+[（1/√3）+1/√4]
+。
。。。。。+[1/√(k-1)+1/√k]+[(1/√k)-1/√(k+1)] =1-[1/√(k+1)]=2/3 1/√(k+1)=1/3 √(k+1)=3 k+1=9 k=8 。
。。。。。+[1/√(k-1)+1/√k]+[(1/√k)-1/√(k+1)] =1-[1/√(k+1)]=2/3 1/√(k+1)=1/3 √(k+1)=3 k+1=9 k=8 。
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