设A，B为实对称半正定矩阵，证明：Tr(
命题1。AA^t=0==>A=0
A^t为A的转置。
命题2。Tr(A)=Tr(PAP^（-1）)
定理。
A为实对称半正定矩阵
《==》有正交矩阵P，对角矩阵R，
R的对角线为所有A的特征值，
使A=PRP^t=PRP^（-1）
《==》有矩阵Q，R（Q）=R（A），
使A=QQ^t
1。 根据定理的
“有正交矩阵P，对角矩阵R，
R的对角线为所有A的特征值，
使A=PRP^t=PRP^（-1）”和
命题2==》
可设A对角矩阵，
对角线为所有A的特征值。
记A的分块。
A=
A1，0
0 ，0
A1对角矩阵，
对角线为所有A不为0的特征值。
2。将B分为和A的分块一样，
B=
B...全部
命题1。AA^t=0==>A=0
A^t为A的转置。
命题2。Tr(A)=Tr(PAP^（-1）)
定理。
A为实对称半正定矩阵
《==》有正交矩阵P，对角矩阵R，
R的对角线为所有A的特征值，
使A=PRP^t=PRP^（-1）
《==》有矩阵Q，R（Q）=R（A），
使A=QQ^t
1。
根据定理的
“有正交矩阵P，对角矩阵R，
R的对角线为所有A的特征值，
使A=PRP^t=PRP^（-1）”和
命题2==》
可设A对角矩阵，
对角线为所有A的特征值。
记A的分块。
A=
A1，0
0 ，0
A1对角矩阵，
对角线为所有A不为0的特征值。
2。将B分为和A的分块一样，
B=
B1，B2
B3，B4
==》
AB=
A1B1，A1B2
0 ，0
==》
Tr(AB)=Tr(A1B1)=0
其中B1为实对称半正定矩阵。
3。Tr(A1B1)=0和A1对角矩阵，
对角线为所有A不为0的特征值。
==》Tr(B1)=0
根据定理的
“有矩阵Q，R（Q）=R（B1），
使B1=QQ^t”
==》Tr(B1)=R（QQ^t）
而R（QQ^t）=所有Q的元素的平方和。
==》Q=0==》B1=0==》A1B1=0。
4。B=
B1，B2
B3，B4
=
0 ，B2
B3，B4
根据定理的
“有矩阵Q，R（Q）=R（B），
使B=QQ^t”
将Q分为和B的分块一样，
Q=
Q1，Q2
Q3，Q4
==》
0=B1=Q1（Q1）^t+Q2（Q2）^t
==》Q1（Q1）^t=Q2（Q2）^t=0
==》Q1=Q2=0（命题1）。
==》
B=
0，0
0，B4
==》
AB=
0，0
0，0
=0。
。收起
