如何深入理解导数的概念，导数的本质
问题一：如果用一个坐标来刻画一天从0点到24点的温度变化曲线，可以知道这个曲线是连续的（能证明么？）。请问，这个曲线某点的温度（比如3点十分）可以求导数么？（有切线么？）
问题二：左极限和右极限。
如果分段函数Y=X 01。 是连续的。但是在X=1这点左导数是1，右导数是2。
也就是导数不存在。可是如果把X看成时间T，Y看成位移S，导数的物理意义是速度。难道意味这在T＝1的时刻，速度不存在么？
如果说X代表时间，Y代表速度，导数物理意义就是加速度。难道物体运动的时候突然变加速度不可以么？而这个加速度就是2。因为左导数＝1是过去的加速度，而右导数是2是现在的加速度，怎么能说导数不存在呢？
请大家指教。
谢谢。
全部回答
一： 在函数3点10分的那个点上，可以求出导数，这个导数的物理意义是3点10分时温度变化的快慢程度。这个导数的几何意义是温度全天变化的曲线在3点10分这个点上的切线（肯定有切线的哈）。
二、你描绘的那个物理模型事实上并不存在，不符合事实 因为本身没有任何物理的运动会出现你所描述的有间断点的情况 即所有的时间位移函数都应该是可导的。 即同一时刻必须有同样的速度。
也就是任何物体的运动都不会出现你的这个函数模型。意思就是描述物体运动的位移-时间函数必须是连续可导的。 三、你说的加速度实际上是可以跳跃的。这比较容易理解了 因为加速度事实上和物体受到的合力有关系，可以有突变的。
综上所述 描述物体运动的函数一定是个一阶可导函数（当然连续）。
二、你描绘的那个物理模型事实上并不存在，不符合事实 因为本身没有任何物理的运动会出现你所描述的有间断点的情况 即所有的时间位移函数都应该是可导的。 即同一时刻必须有同样的速度。
也就是任何物体的运动都不会出现你的这个函数模型。意思就是描述物体运动的位移-时间函数必须是连续可导的。 三、你说的加速度实际上是可以跳跃的。这比较容易理解了 因为加速度事实上和物体受到的合力有关系，可以有突变的。
综上所述 描述物体运动的函数一定是个一阶可导函数（当然连续）。
答问题一： 在函数3点10分的那个点上，可以求出导数，这个导数的物理意义是3点10分时温度变化的快慢程度。这个导数的几何意义是温度全天变化的曲线在3点10分这个点上的切线（肯定有切线的哈）。
答问题二： 该函数在x＝1这点上是连续的，但是是不可导的，（函数有连续可导和连续但不可导之分哈），按照你的第一种假设，应该理解速度在这点上发生了剧烈的，不连续的，跳跃式的变化，而不是你理解的没有速度，只是这点的速度不可度量。
如果按照楼主的第二种假设，也是一样的结论。这点的加速度发生了跳跃式的变化，不连续了，但并不是没有加速度，也只是不可度量而也。
如果楼主认为x＝1的那点的速度或者加速度可以度量，请自己回答具体是多少！ 我感觉理解导数的概念和意义，本质，最好从物理的意义上理解，那就是导数实质上反映了函数随自变量变化的快慢程度，如果再接合函数图像中的切线的意义，就更容易理解了。
答问题二： 该函数在x＝1这点上是连续的，但是是不可导的，（函数有连续可导和连续但不可导之分哈），按照你的第一种假设，应该理解速度在这点上发生了剧烈的，不连续的，跳跃式的变化，而不是你理解的没有速度，只是这点的速度不可度量。
如果按照楼主的第二种假设，也是一样的结论。这点的加速度发生了跳跃式的变化，不连续了，但并不是没有加速度，也只是不可度量而也。
如果楼主认为x＝1的那点的速度或者加速度可以度量，请自己回答具体是多少！ 我感觉理解导数的概念和意义，本质，最好从物理的意义上理解，那就是导数实质上反映了函数随自变量变化的快慢程度，如果再接合函数图像中的切线的意义，就更容易理解了。
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