一道高等数学的问题设函数f(x)在点x
证明:
首先e^(-x²)0,
由于函数f(x)在点x=0的某个邻域连续,则存在δ>0使得f(x)在x∈(-2δ,2δ)上连续
由于f(x)/(1-e^(-x²))→1(当x→0时),对于ε=1/2>0,以及上述的δ>0,使得当01/2>0(这也就是函数极限的局部保号性)
从而当00
其次当x→0时,1-e^(-x²)=x²+o(x²),o()表示高阶无穷小
因而当x→0时,1-e^(-x²)→0
由于f(x)/(1-e^(-x²))→1(当x→0时),由于函数f(x)在点x=0的2δ邻域内连续,从而也在x=0的δ邻域内...全部
证明:
首先e^(-x²)0,
由于函数f(x)在点x=0的某个邻域连续,则存在δ>0使得f(x)在x∈(-2δ,2δ)上连续
由于f(x)/(1-e^(-x²))→1(当x→0时),对于ε=1/2>0,以及上述的δ>0,使得当01/2>0(这也就是函数极限的局部保号性)
从而当00
其次当x→0时,1-e^(-x²)=x²+o(x²),o()表示高阶无穷小
因而当x→0时,1-e^(-x²)→0
由于f(x)/(1-e^(-x²))→1(当x→0时),由于函数f(x)在点x=0的2δ邻域内连续,从而也在x=0的δ邻域内连续,从而f(0)=0
所谓要证明f(x)在x=0处取极小值,也就是要证明:存在δ'>0,使得对于在x=0的δ'邻域内任何一点x',都有f(x')≥f(0)
如前面所陈述的那样,对任意的x'∈(-δ,δ),恒有f(x)≥f(0)=0
(那个等号只在x=0处取到),故f(x)在x=0处取到极小值
证毕。
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