一个三角形不等式设a,b,c是三
设a,b,c是三角形三边长，求证:
3(abc)^2*(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)>=
(a^2+b^2+c^2)*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2) (1)
运用三角形惯性极矩不等式:
(x+y+z)*(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=yza^2+zxb^2+xyc^2,
取x=c^2*a^2,y=a^2*b^2,z=b^2*c^2,P取重心即得所不等式。
下面给出一种纯初级证法
(1)式去分母得:
2(a^2*b^4+b^2*c^4+c^2*a^4)≥
a^4*b^2+b^4*c^2+c^4*a^2+3a^2*b^2*c^2
上式化简...全部
设a,b,c是三角形三边长，求证:
3(abc)^2*(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)>=
(a^2+b^2+c^2)*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2) (1)
运用三角形惯性极矩不等式:
(x+y+z)*(xPA^2+yPB^2+zPC^2)>=yza^2+zxb^2+xyc^2,
取x=c^2*a^2,y=a^2*b^2,z=b^2*c^2,P取重心即得所不等式。
下面给出一种纯初级证法
(1)式去分母得:
2(a^2*b^4+b^2*c^4+c^2*a^4)≥
a^4*b^2+b^4*c^2+c^4*a^2+3a^2*b^2*c^2
上式化简整理为
a^2*(b^4+c^4)+b^2*(c^4+a^4)+c^2*(a^4+b^4) -6a^2*b^2*c^2
≥3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(a^2-c^2) (2)
a^2*(b^2-c^2)^2+b^2*(c^2-a^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2
≥3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(a^2-c^2) (3)
(3)式左边显然为非负，如右边为负则成立，如右边为非负，不妨设a>b>c[当然c>a>b, 或b>c>a也行]。
下面来证明当a>b>c时, (3)式成立。
根椐已知恒等式:
(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+ (a^2-b^2)^3=3(a^2-b^2)*(b^2-c^2)*(c^2-a^2) (4)
(3)式等价于
a^2*(b^2-c^2)^2+b^2*(c^2-a^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3+(a^2-b^2)^3≥0
(b^2-c^2)^2*(a^2+b^2-c^2)+(c^2-a^2)^2*(b^2+c^2-a^2)+(a^2-b^2)^2*(c^2+a^2-b^2)≥0
备注: 上式在锐角三角形显然成立。
注意到 a^2-c^2=a^2-b^2+b^2-c^2，
所以上式化简等价于
b^2*(b^2-c^2)^2+c^2*(a^2-b^2)^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2)≥0
[b(b^2-c^2)-c(a^2-b^2)]^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b^2+c^2-a^2+2bc)≥0
[b(b^2-c^2)-c(a^2-b^2)]^2+(a^2-b^2)*( b^2-c^2)*(b+c-a)*(b+c+a)≥0
上式显然在a>b>c条件下成立。
故得证。
。收起
