高一数学题3

高一数学如图，在四棱锥P-ABC

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°、边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且垂直于底面ABCD。 （1）若G为AD边中点，求证BG⊥平面PAD 证明： 因为底面ABCD是∠DAB=60°、边长为a的菱形 所以，△ABD和△BCD均为边长为a的正三角形；且：∠ADC=120° 而已知△QAD的正三角形，且G为AD中点 所以：PG⊥AD，PG=√3a/2,且：BG⊥AD 又已知面PAD⊥面ABCD 所以，PG⊥面ABCD 所以，PG⊥BG 所以，BG⊥面PAD （2）求证AD⊥PB 由(1)知，PG⊥面ABCD 所以，PG⊥AD 又因为，AD⊥BG 所以，AD⊥面PA...全部

  如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°、边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且垂直于底面ABCD。 （1）若G为AD边中点，求证BG⊥平面PAD 证明： 因为底面ABCD是∠DAB=60°、边长为a的菱形 所以，△ABD和△BCD均为边长为a的正三角形；且：∠ADC=120° 而已知△QAD的正三角形，且G为AD中点 所以：PG⊥AD，PG=√3a/2,且：BG⊥AD 又已知面PAD⊥面ABCD 所以，PG⊥面ABCD 所以，PG⊥BG 所以，BG⊥面PAD （2）求证AD⊥PB 由(1)知，PG⊥面ABCD 所以，PG⊥AD 又因为，AD⊥BG 所以，AD⊥面PAG 所以，AD⊥PB （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论 易得到，BG=PG=DE=√3a/2 且，在△CDG中，根据余弦定理有： CG^=CD^+GD^-2CD*GD*cos120°=a^+(a/2)^-2*a*(a/2)*(-1/2) =a^+(a^/4)+(a^/2)=7a^/4 所以，CG=√7a/2 又由(1)知，PG⊥面ABCD 所以，在Rt△PGB和Rt△PGC中，根据勾股定理有： PB=√6a/2 PC=√10a/2 而，BC=a 所以，PC^=PB^+BC^ 所以，△PBC为直角三角形。
  即，PB⊥BC 因为E为正三角形BCD边BC的中点，所以：BC⊥DE 所以，取PC的中点为F，连接EF 因为E是BC中点，F是PC中点 所以，EF是△PBC的中位线 所以，EF∥PB 所以，EF⊥BC 所以，BC⊥面DEF 则，面DEF⊥面ABCD。
  收起