高一数学题

3.如图所示：扇形AOB的中心角为45°，半径为1，矩形MNPQ内接于扇形，使P、Q点在半径OA上，求矩形MNPQ的对角线PM的最小值。答对加5分，谢谢。

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2007-04-08

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设OP=PN=QM=x 连OM，OM=1, OQ=√(1-x^2), PQ=[√(1-x^2)]-x PM^2=PQ^2+QM^2=1+x^2-2x√(1-x^2) 要求PM的最小值，只要求PM^2的最小值，设x=sina, 则√(1-x^2)=cosa PM^2=1+(sina)^2-2sinacosa =1+1/2-[(1/2)cos2a+sin2a] =3/2+[(1/2)cos2a+sin2a] (1/2)cos2a-sin2a的最小值是-√[(1/2)^2+1]=-(1/2)√5 所以PM^2的最小值是(3-√5)/2 PM的最小值是√[(3-√5)/2]=[(√5)-1]/2≈0。
618 。

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