函数的问题将函数f(x)=1/x
解：下面把f(x)=1/(x^2+x-6)在x=0处展成马克劳林级数。
f(x)=1/(x^2+x-6)=1/(x-2)(x+3)=(1/5){[1/(x-2)]-[1/(x+3)]}
故有5f(x)=[1/(x-2)]-[1/(x+3)]。
5f'(x)=[-1/(x-2)^2]-[-1/(x+3)^2]。
5f"(x)=[2/(x-2)^3]-[2/(x+3)^3]。
5f'''(x)=[-2*3/(x-2)^4]-[-2*3/(x+3)^4]
5f^(4)(x)=[2*3*4/(x-2)^5]-[2*3*4/(x+3)^5]
……
5f^(n)(x)={[(-1)^n]n!/(x...全部
解：下面把f(x)=1/(x^2+x-6)在x=0处展成马克劳林级数。
f(x)=1/(x^2+x-6)=1/(x-2)(x+3)=(1/5){[1/(x-2)]-[1/(x+3)]}
故有5f(x)=[1/(x-2)]-[1/(x+3)]。
5f'(x)=[-1/(x-2)^2]-[-1/(x+3)^2]。
5f"(x)=[2/(x-2)^3]-[2/(x+3)^3]。
5f'''(x)=[-2*3/(x-2)^4]-[-2*3/(x+3)^4]
5f^(4)(x)=[2*3*4/(x-2)^5]-[2*3*4/(x+3)^5]
……
5f^(n)(x)={[(-1)^n]n!/(x-2)^(n+1)}-{[(-1)^n]n!/(x+3)^(n+1)}
=[(-1)^n]n!{[1/(x-2)^(n+1)]-[1/(x+3)^(n+1)]}
用x=0代入得
f(0)=(1/5)(-5/6)=-1/6; f'(0)=(1/5)(-1/4+1/9)=-（1!)/6^2 ;
f''(0)=(1/5)[-(2/8)-(2/27)]=-(2!)*7/6^3。
f'''(0)=(1/5)[-(2*3/16)+(2*3/81)]=-(3!)*13/6^4。
f^(4)(0)=(1/5)(4!)[(-1/2^5)-(1/3^5)]=-(4!)*55/6^5
……
f^(n)(0)=-(n!)(1/5)[1/(-2)^(n+1)-1/3^(n+1)]
=-(n!)(1/5)[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]/6^(n+1)
级数 -1/6-x/6^2-7x^2/6^3-13x^3/6^4-55x^4/6^5-…-[3^(n+1)
-(-2)^(n+1)]x^n/[5*6^(n+1)]
n→∞lim︱[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]/[5*6(n+1)]︱/︱[3^n-(-2)^n]/[5*6^n]=n→∞lim(1/6)[3*3^n+2*(-2)^n]/[3^n-(-2)^n]
=n→∞lim(1/6)[3+2(-2/3)^n]/[1-(-2/3)^n]=1/2。
故收敛半径R=2。
可以证明余项Rn(x)→0,当n→∞时,但书写太困难了！故不写了！
最后得幂级数 1/(x^2+x-6)=
=-{1/6+x/6^2+7x^2/6^3+。。。+[3^(n+1)-(-2)^(n+1)]x^n/[5*6^(n+1)]}。
收起
