几何证明题-18

几何问题(1)求证圆内接四边形被

圆内接四边形ABCD,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4 求证:r1+r3=r2+r4 证明: 设△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为I1,I2,I3,I4 ∵∠AI3D=90+∠ACD/2,∠AI4D=90+∠ABD/2 ∴∠AI3D=∠AI4D ∴A。 I4。I3。D四点共圆(同理可知B。I1。I2。C四点共圆) ∴∠AI4I3=180-∠ADI3=180-∠ADC/2 同理:∠AI4I1=180-∠ABC/2 ∴∠AI4I3+∠AI4I1=360-(∠ADC+∠ABC)/2=270 ∴∠I3I4I1=90 同理:∠I4I1I...全部

  圆内接四边形ABCD,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4 求证:r1+r3=r2+r4 证明: 设△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为I1,I2,I3,I4 ∵∠AI3D=90+∠ACD/2,∠AI4D=90+∠ABD/2 ∴∠AI3D=∠AI4D ∴A。
  I4。I3。D四点共圆(同理可知B。I1。I2。C四点共圆) ∴∠AI4I3=180-∠ADI3=180-∠ADC/2 同理:∠AI4I1=180-∠ABC/2 ∴∠AI4I3+∠AI4I1=360-(∠ADC+∠ABC)/2=270 ∴∠I3I4I1=90 同理:∠I4I1I2=∠I1I2I3=∠I2I3I4=90 ∴I1I2I3I4为矩形 ∴I1I3=I2I4 设I1I3与AC交点为M,I2I4与BD交点为N,∠AMI1=α,∠BNI4=β ∵A。
  I4。I3。D四点共圆,B。I1。I2。
  C四点共圆 ∴∠AI3I4=ADI4=∠ADB/2=∠ACB/2=∠BI2I1 α=∠AI3M+∠MAI3=∠AI3I4+∠I4I3I1+∠DAC/2 β=∠BI2N+∠NBI2=∠BI2I1+∠I1I2I4+∠DBC/2 ∴α=β 过I1,I3作AC垂线,P,Q为垂足,则r1=I1P,r3=I3Q r1+r3=I1I3*sinα 同理:r2+r4=I2I4*sinβ ∴r1+r3=r2+r4 。收起