数学椭圆的一条直径（过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之比的比例中项。
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)①
的焦点F(c,0),
过F的弦AB所在直线方程是x=my+c,②
把②代入①，化简得
(a^2+b^2*m^2)y^2+2b^2*cmy-b^4=0,
△=4b^4*c^2*m^2+4b^4*(a^2+b^2*m^2)
=4a^2*b^4*(1+m^2),
|AB|={√[(1+m^2)△]}/(a^2+b^2*m^2)
=2ab^2*(1+m^2)/(a^2+b^2*m^2),
过中心O的弦CD的方程是x=my,
代入①，化简得（a^2+b^2*m^2)y^2=a^2*b^2,
y=土ab/√（a^2+b^2*m^2),
∴|CD...全部
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)①
的焦点F(c,0),
过F的弦AB所在直线方程是x=my+c,②
把②代入①，化简得
(a^2+b^2*m^2)y^2+2b^2*cmy-b^4=0,
△=4b^4*c^2*m^2+4b^4*(a^2+b^2*m^2)
=4a^2*b^4*(1+m^2),
|AB|={√[(1+m^2)△]}/(a^2+b^2*m^2)
=2ab^2*(1+m^2)/(a^2+b^2*m^2),
过中心O的弦CD的方程是x=my,
代入①，化简得（a^2+b^2*m^2)y^2=a^2*b^2,
y=土ab/√（a^2+b^2*m^2),
∴|CD|=[2ab√(1+m^2)]/√（a^2+b^2*m^2），
CD^2=4a^2*b^2*(1+m^2)/(a^2+b^2*m^2)
=2a*|AB|,
∴命题成立。
。收起
