几何问题(2)
求证从圆的内部挖去一个内接三角形,造成三个弓形,这三个弓形的高之和等于圆的直径与三角形内切圆半径之差。
设圆心为O,半径为R,其内接三角形ABC的内切圆半径为r。
过O点作OD⊥BC,垂足为D,OE⊥CA,垂足为E,OF⊥A垂足为F,延长分别交圆于K,M,N。 显然D,E,F分别是BC,CA,AB的中点。
记DK=h1,EM=h2,FN=h3。BC=a,CA=b,AB=c。
因为A，E，O，F四点共圆,由托勒密定理得:
AO*EF=OF*AE+OE*AF
R*a=OF*b+OE*c。
同理可得:
R*b=OD*c+OF*a, R*c=OE*a+OD*b。
上述三式相加得:
R(a+...全部
求证从圆的内部挖去一个内接三角形,造成三个弓形,这三个弓形的高之和等于圆的直径与三角形内切圆半径之差。
设圆心为O,半径为R,其内接三角形ABC的内切圆半径为r。
过O点作OD⊥BC,垂足为D,OE⊥CA,垂足为E,OF⊥A垂足为F,延长分别交圆于K,M,N。
显然D,E,F分别是BC,CA,AB的中点。
记DK=h1,EM=h2,FN=h3。BC=a,CA=b,AB=c。
因为A，E，O，F四点共圆,由托勒密定理得:
AO*EF=OF*AE+OE*AF
R*a=OF*b+OE*c。
同理可得:
R*b=OD*c+OF*a, R*c=OE*a+OD*b。
上述三式相加得:
R(a+b+c)=OD(b+c)+OE(c+a)+OF(a+b) (1)
根据面和公式得:
r(a+b+c)=OD*a+C=OE*b+OF*c (2)
(1)+(2)得:
(R+r)*(a+b+c)=(a+b+c)*(OD+OE+OF)
R+r=3R-h1-h2-h3
∴h1+h2+h3=2R-r。
。收起
