数导综合练习我采纳！求解析！1.函数
1。
y=x^3-3x^2-9x
则，y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3*(x+1)(x-3)
则当y'=0时，x=-1∈[-2,2]，x=3
当x∈(-2,-1)时，y'＞0，y单调递增；当x∈(-1,2)时，y'＜0，y单调递减。
所以，y在x=-1时取得极大值=y(-1)=-1-3+9=5
2。
s=1-t+t^2
所以，v=ds/dt=(1-t+t^2)'=2t-1
所以，当t=3时，v=2*3-1=5m/s。
3。
y=(x^2/4)-3lnx，定义域为x＞0
且，y'=(x/2)-(3/x)
则由(x/2)-(3/x)=1/2
===> x^2-6=x...全部
1。
y=x^3-3x^2-9x
则，y'=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3*(x+1)(x-3)
则当y'=0时，x=-1∈[-2,2]，x=3
当x∈(-2,-1)时，y'＞0，y单调递增；当x∈(-1,2)时，y'＜0，y单调递减。
所以，y在x=-1时取得极大值=y(-1)=-1-3+9=5
2。
s=1-t+t^2
所以，v=ds/dt=(1-t+t^2)'=2t-1
所以，当t=3时，v=2*3-1=5m/s。
3。
y=(x^2/4)-3lnx，定义域为x＞0
且，y'=(x/2)-(3/x)
则由(x/2)-(3/x)=1/2
===> x^2-6=x
===> x^2-x-6=0
===> (x-3)*(x+2)=0
===> x1=3，x2=-2（舍去）
所以，切点的横坐标为x=3。
4。
y=x/(2x-1)，则y'=[1*(2x-1)-x*2]/(2x-1)^2
=-1/(2x-1)^2
所以，y'(1)=-1
则点(1,1)处切线方程为：y-1=-1*(x-1)=-x+1
亦即：x+y-2=0。
5。
y=ax^2，所以：y'=2ax
已知直线x-y-1=0与之相切，则切线斜率k=y'=2ax=1
设切点为(xo,xo-1)，那么k=y'=2axo=1
所以，xo=1/(2a)
则，切点为(1/(2a),(1-2a)/(2a))
而切点也在抛物线上，所以：(1-2a)/(2a)=a*[1/(2a)]^2
解得，a=1/4。
6。
已知y=sinx/x
则，y'=(sinx/x)'=[(sinx)'*x-sinx*x']/x^2
=(x*cosx-sinx)/x^2。
7。
f(x)=xlnx，定义域为x＞0
且f'(x)=lnx+x*(1/x)=lnx+1
则当f'(x)=lnx+1=0时，x=1/e
当x∈(0,1/e)时，f'(x)＜0，函数单调递减；
当x∈(1/e,+∞)时，f'(x)＞0，函数单调递增。
8。
(I)
f(x)=x^3-3x，则f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
所以，当f'(x)=0时有：x1=-1，x2=1
当x＜-1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当-1＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。
（II)
由(I)的单调区间可以得到：
当x∈[-3,-1]时，f(x)单调递增，则有最小值f(-3)=-18；最大值f(-1)=2；
当x∈[-1,1]时，f(x)单调递减，则有最大值f(-1)=2；最小值f(1)=-2；
当x∈[1,2]时，f(x)单调递增，则有最大值f(2)=2，最小值f(1)=-2；
综上，当x∈[-3,2]时，f(x)有最小值-18，最大值2。
9。
(I)
g(x)=f(x)-2=x^3+ax^2+3bx+(c-2)
已知g(x)为奇函数，则g(x)中二次项与常数项为零
即：a=0，c-2=0
所以，a=0，c=2。
（II)
此时，f(x)=x^3+3bx+2
所以，f'(x)=3x^2+3b=3*(x^2+b)
①当b＞0时，f'(x)=3(x^2+b)＞0，则f(x)在R上单调递增；
②当b＜0时，由f'(x)=3(x^2+b)=0得到：x^2+b=0
===> x^2=-b
===> x=-√(-b)，或者x=√(-b)
且：
当x＞√(-b)，或者x＜-√(-b)时，f'(x)＞0，f(x)分别单调递增；
当-√(-b)＜x＜√(-b)时，f'(x)＜0，f(x)单调帝递减。
10。
（I）
已知f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c
所以：f'(x)=6x^2+6ax+3b=3(2x^2+2ax+b)
已知x=1，x=2时取得极值，所以：f'(1)=f'(2)=0
代入得到：
2+2a+b=0
8+4a+b=0
联立解得：a=-3，b=4
（II)
则，f(x)=2x^3-9x^2+12x+8c
f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)
则：
当x∈[0,1]时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，此时f(x)有最大值f(1)=2-9+12+8c=5+8c
当x∈(1,2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(x)有最大值f(1)=5+8c
当x∈[2,3]时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，此时f(x)有最大值f(3)=54-81+36+8c=9+8c
所以，f(x)在[0,3]上有最大值9+8c
所以：9+8c＜c^2
===> c^2-8c-9＞0
===> (c+1)(c-9)＞0
===> c＜-1，或者c＞9。
11。
(I）
已知f(x)=lnx+ax^2/2-(a+1)x
所以，f'(x)=(1/x)+ax-(a+1)
则，f'(2)=(1/2)+2a-a-1=1
所以，a=3/2。
（II)
当a=0时，f(x)=lnx-x
f'(x)=(1/x)-1=(1-x)/x
则，当f'(x)=0时，x=1
当x∈(0,1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减
所以，f(x)有最大值f(1)=-1
（III)
已知f(x)=lnx+ax^2/2-(a+1)x
所以，f'(x)=(1/x)+ax-(a+1)=[1+ax^2-(a+1)x]/x
=[(ax-1)*(x-1)]/x
当f'(x)＞0时f(x)单调递增
已知定义域为x＞0
所以，当f'(x)＞0时，(ax-1)*(x-1)＞0
①若a=0，===>-x+1＞0 ===> x＜1
所以，f(x)的单调递增区间为(0,1)；
②若a∈(0,1)，则：1/a＞1
所以，f(x)的单调递增区间为(0,1)∪(1/a,+∞)；
③若a=1，则f'(x)=(x-1)^2≥0
所以，f(x)的单调递增区间为x＞0；
④若a＞1，则1/a＜1
所以，f(x)的递增区间为(0,1/a)∪(1,+∞)。
12
设小正方形的边长为x，则：
矩形小盒子的高为x，底面矩形的长为8-2x，宽为5-2x
那么小盒子的容积V=f(x)=x*(8-2x)*(5-2x)=4x^3-26x^2+40x
所以，f'(x)=12x^2-52x+40=4(3x^2-13x+10)=4*(3x-10)*(x-1)
则，当f'(x)=0时有：x1=1，x2=10/3
而当x=10/3时，底面矩形的宽5-2x=-5/3＜0，舍去
所以，x=1
即，小正方形的边长为1cm时，小盒子的容积最大。
收起
