设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m
设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A。B两点,点P是弦A,B的中点。
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
设过点m(0,1)的直线l的方程是：y=kx+1(k是参数),
代入椭圆方程：x^2+y^2/4=1，
得关于x的二次方程：x^2+（kx+1)^2/4=1，
即 (k^2+4)x^2+2kx-3=0,
由韦达定理得 x1+x2=-2k/(k^2+4) (1)
由直线l的方程得
y1=kx1+1,
y2=kx2+1,
再由(1)得 y1+y2=k(x1+x2)+2=-2k^2/(k^2+4)+2, （2）
于是 x=(x...全部
设椭圆方程为x^2+y^2/4=1过点m(0,1)的直线,l交椭圆于A。B两点,点P是弦A,B的中点。
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
设过点m(0,1)的直线l的方程是：y=kx+1(k是参数),
代入椭圆方程：x^2+y^2/4=1，
得关于x的二次方程：x^2+（kx+1)^2/4=1，
即 (k^2+4)x^2+2kx-3=0,
由韦达定理得 x1+x2=-2k/(k^2+4) (1)
由直线l的方程得
y1=kx1+1,
y2=kx2+1,
再由(1)得 y1+y2=k(x1+x2)+2=-2k^2/(k^2+4)+2, （2）
于是 x=(x1+x2)/2=-k/(k^2+4)，
y=(y1+y2)/2=-k^2/(k^2+4)+1
所以,动点P的轨迹的参数方程为：
x=-k/(k^2+4)， (3)
y=-k^2/(k^2+4)+1。
(4)
注：消参过程如下:由(3),(4)得
k=(y-1)/x, (5)
(5)代入(3),得
x=-[(y-1)/x]/{[(y-1)/x]^2+4}
化简得
16x^2+4(y-1/2)^2=1。
(6)
(6)即为动点P的轨迹的直角坐标方程。
。收起
