超几何分布、正态分布的期望、方差的证明
超几何分布
对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N
证明 ∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N)=nM/N
等价于证∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(nM/N)
等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(n/N)
等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n-1,N-1)
考虑(1+x)^N-1
一方面(1+x)^N-1中x^N-1系数为C(n-1,N-1)
另一方面(1+x)^N-1=（1+x）^（N-M）*(1+x)^(M-1)
=∑C(k,N-M)*∑C(k,M-1)
其中x^N...全部
超几何分布
对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N
证明 ∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N)=nM/N
等价于证∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(nM/N)
等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n,N)*(n/N)
等价于∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n-1,N-1)
考虑(1+x)^N-1
一方面(1+x)^N-1中x^N-1系数为C(n-1,N-1)
另一方面(1+x)^N-1=（1+x）^（N-M）*(1+x)^(M-1)
=∑C(k,N-M)*∑C(k,M-1)
其中x^N-1系数又为∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}
故∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M)}=C(n-1,N-1)
故命题成立
对X~H(n，M，N)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)]
D(X)=E(X^2)-(EX)^2
将E(x)代入即可
对于正态分布
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差是t^2
于是： ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）
积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。
（1）求均值
对（*）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆开，再移项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
(2)方差
对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
。
收起
