高中希望杯数学竞赛的试题 要答案一起的哈,嗯越多越好!
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数 在 上的最小值是 ( C )A.0 B.1 C.2 D.3[解] 当 时, ,因此 ,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ( D )A. B. C. D. [解] 因 有两个实根 , ,故 等价于 且 ,即 且 ,解之得 .3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜...全部
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数 在 上的最小值是 ( C )A.0 B.1 C.2 D.3[解] 当 时, ,因此 ,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ( D )A. B. C. D. [解] 因 有两个实根 , ,故 等价于 且 ,即 且 ,解之得 .3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为 ( B )A。
B。 C。 D。 [解法一] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6。设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 .若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 , , ,故 .[解法二] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6。
令 表示甲在第 局比赛中获胜,则 表示乙在第 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得 , , ,故 .4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )A。
764 cm3或586 cm3 B。 764 cm3 C。 586 cm3或564 cm3 D。 586 cm3[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ,则有 , ,不妨设 ,从而 , .故 . 只能取9,8,7,6.若 ,则 ,易知 , ,得一组解 .若 ,则 , .但 , ,从而 或5.若 ,则 无解,若 ,则 无解.此时无解.若 ,则 ,有唯一解 , .若 ,则 ,此时 , .故 ,但 ,故 ,此时 无解.综上,共有两组解 或 体积为 cm3或 cm3.5.方程组 的有理数解 的个数为 ( B )A。
1 B。 2 C。 3 D。 4[解] 若 ,则 解得 或 若 ,则由 得 . ①由 得 . ② 将②代入 得 . ③由①得 ,代入③化简得 。
易知 无有理数根,故 ,由①得 ,由②得 ,与 矛盾,故该方程组共有两组有理数解 或 6.设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是 ( C )A。 B。 C。
D。 [解] 设 的公比为 ,则 ,而 .因此,只需求 的取值范围.因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组 即 解得 从而 ,因此所求的取值范围是 .二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7.设 ,其中 为实数, , , ,若 ,则 5 。
[解] 由题意知 ,由 得 , ,因此 , , .8.设 的最小值为 ,则 .[解] ,(1) 时, 当 时取最小值 ;(2) 时, 当 时取最小值1;(3) 时, 当 时取最小值 .又 或 时, 的最小值不能为 ,故 ,解得 , (舍去).9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用 表示名额.如 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有 种.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 .的正整数解的个数,即方程 的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合: .又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.10.设数列 的前 项和 满足: , ,则通项 = .[解] ,即 2 = ,由此得 2 .令 , ( ),有 ,故 ,所以 .11.设 是定义在 上的函数,若 ,且对任意 ,满足 , ,则 = .[解法一] 由题设条件知 ,因此有 ,故 .[解法二] 令 ,则 , ,即 ,故 ,得 是周期为2的周期函数,所以 .12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . [解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 //平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.因 ,故 ,从而 .记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则 .考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体的棱长为 ,过 作 于 . 因 ,有 ,故小三角形的边长 .小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分) . 又 , ,所以 .由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ,求证: .[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在 内相切,其切点为 , .…5分 由于 , ,所以 ,即 . …10分因此 …15分 . …20分14.解不等式 .[解法一] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于 . 即 . …5分分组分解 , , …10分所以 , . …15分所以 ,即 或 .故原不等式解集为 . …20分[解法二] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于 . …5分即 , , …10分令 ,则不等式为 , 显然 在 上为增函数,由此上面不等式等价于 , …15分即 ,解得 ( 舍去),故原不等式解集为 . …20分15.如题15图, 是抛物线 上的动点,点 在 轴上,圆 内切于 ,求 面积的最小值.[解] 设 ,不妨设 .直线 的方程: ,化简得 .又圆心 到 的距离为1, , …5分故 ,易知 ,上式化简得 , 同理有 . …10分所以 , ,则 .因 是抛物线上的点,有 ,则 , . …15分所以 .当 时,上式取等号,此时 .因此 的最小值为8.。
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