证明定积分收敛
当(-1＜k＜0)时，如何证明广义定积分 ∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx 是收敛的？
全部回答
设f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx
令x=2t得
2^(-k)f(k)=2^(-k)∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx
=∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t-1/(e^t+1)]dt
=∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t]dt-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt
=f(k)-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt
∴∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt=[1-2^(-k)]f(k)
而∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt＜∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt
=Γ(k+1)
∵ -1＜k＜0
∴ k+1＞0，即最常见的伽马函数
Γ(k+1)=∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt是收敛的
故f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx收敛得证。
。
。
拾老师牙慧：
f(x)=1/x-1/(e^x-1),f'=[x^2*e^x-(e^x-1)^2]/[x(e^x-1)]^2
易证2chx≥x^2+2,所以f'≤0，
因为lim0)f(x)=1/2,所以f≤1/2,
{令t=1/x-1/2,就是（1+1/t)^(t+1/2)≥e,
1/2是(1+1/x)^(x+a)≥e中a的下确界!!}
∫(0,1](x^k)f(x)dx≤∫(0,1](x^k)*1/2dx=1/(2k+2)
第二部更巧妙，∫(1,+oo)x^kdx不收敛，而x^(k-1)收敛，
令g(x)=xf(x)=1-x/(e^x-1),g(x)1,
所以∫(1,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx=∫(1,∞)x^(k-1)g(x)dx
≤ ∫(1,∞)x^(k-1)dx=-1/k,
综上，原积分收敛。
。
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